¿Cuándo es un subgrupo de filtración de Moy-Prasad el estabilizador de un subconjunto del edificio (hasta el centro)?

Question

Sea $G$ sea un grupo algebraico semisimple, conexo y simplemente conexo, definido y dividido sobre un campo local no arcaico $k$ con anillo entero $R$ . Sea $B$ sea el edificio reducido correspondiente. Arreglar un apartamento $A$ y el sistema radicular correspondiente $\Phi$ y toro dividido $T$ entonces para cada $x \in A$ y $r>0$ tenemos el correspondiente subgrupo de filtración de Moy-Prasad $G_{x,r}$ . Nuestras hipótesis dan $G_x=G_{x,0}$ .

Defina $\Omega_{A,r}$ como el conjunto $$ \{ y \in A : \forall \alpha \in \Phi, \vert \alpha(x-y) \vert \leq r \}.$$

¿Es cierto que $T(R)G_{x,r} = \cap_{y\in \Omega_{A,r}} G_y$ ?

(Con $r>0$ el producto da un grupo que está contenido en la intersección dada. La igualdad parece referirse a si todos los hiperplanos $H_{\alpha,r}$ conozca $\Omega_{A,r}$ .)

Sea $A(x)$ sea el conjunto de todos los apartamentos de $B$ que contiene $x$ . Sea $Z$ sea el centro (finito) de $G$ .

¿Es cierto que $ZG_{x,r} = \cap_{A \in A(x)}\cap_{y\in \Omega_{A,r}}G_y$ ?
Equiv por (1): Es $ZG_{x,r} =\cap_{g \in G_x} (gT(R)g^{-1})G_{x,r}$ ?

Esto forma parte de una cuestión más amplia: Me gustaría entender los estabilizadores de ciertos subconjuntos de $B$ (que no se encuentran en ningún apartamento $A$ ). Se agradecerá cualquier indicación sobre bibliografía.

Answer 1

Lamentablemente, la respuesta a la primera pregunta es no.

Por ejemplo, consideremos un grupo de tipo $G_2$ . Normalice sus raíces de modo que las raíces cortas tengan longitud 1, por ejemplo, y deje que $x=0$ . Escriba a $\Phi = \Phi^l \cup \Phi^s$ como unión de raíces largas y cortas, respectivamente, y definir los conjuntos correspondientes $\Omega^l_{A,r}$ y $\Omega^s_{A,r}$ . Escriba a $B_r$ para el disco de radio $r$ .

Entonces $\Omega^l_{A,r} \subseteq B_{2r/3}$ mientras que $B_r \subseteq \Omega^s_{A,r}$ . Por consiguiente, el comentario entre paréntesis no es válido.

También había una errata en el comentario entre paréntesis, así que seamos explícitos. (Dada una raíz $\alpha$ Escriba $U_\alpha$ para el subgrupo raíz correspondiente y normalizar así $U_\alpha(R)= U_\alpha \cap G_0$ .)

Para ver que $T(R)G_{x,r} \subseteq \cap_{y\in \Omega_{A,r}} G_y$ basta con verificarlo en un conjunto de generadores. Tenemos $T(R) \subseteq G_y$ para todos $y\in A$ . Entonces el resto de $G_{x,r}$ está generado por los grupos $U_\alpha(P^{\lceil r-\alpha(x)\rceil})$ .
Para cada $y \in \Omega_{A,r}$ tenemos $\alpha(x)-\alpha(y)\leq r$ así que $-\alpha(y) \leq r-\alpha(x)$ lo que implica $U_\alpha(P^{\lceil r-\alpha(x)\rceil}) \subseteq U_\alpha(P^{\lceil -\alpha(y)\rceil})$ . Así $T(R)G_{x,r}$ está contenido en cada uno de estos $G_y$ .

Por el contrario, en el caso de $G_2$ descritas anteriormente, las desigualdades implican que para tamaños suficientemente grandes $r$ no hay $y \in \Omega_{A,r}$ para el que la igualdad $\lceil -\alpha(y) \rceil = \lceil r-\alpha(x) \rceil$ ( $=\lceil r \rceil$ ), por lo que la intersección será estrictamente mayor que $T(r)G_{x,r}$ .

De ello se deduce que la respuesta a la primera versión de la segunda pregunta también es negativa. La segunda versión es cierta para $SL(2)$ por ejemplo, así que quizás haya un argumento a través de los generadores y relaciones de Chevalley.