$L^{2}$ Error de aproximación de la Serie de Fourier de la Unión de los Distintos Arcos

Question

Dado $N$ arcos disjuntos $\{I_{\alpha}\}_{\alpha=1}^{N}\subset\mathbb{T} $, $f=\displaystyle\sum_{\alpha=1}^{N}\chi_{I_{\alpha}}$

mostrar que $$\sum_{|v|>k}|\hat{f}(v)|^2\le\dfrac{CN}{k}$$

Este libro [C. Muscalu y W. Schlag, Clásica y Multilineal Análisis Armónico (Vol. I)] da el siguiente consejo: "El obligado a $\frac{N^2}{k}$ es mucho más fácil y debe obtenerse primero. Va de $N^2$ $N$a continuación, se requiere explotar ortogonalidad en un adecuado moda."

Puedo probar la sugerencia, en otras palabras, no se puede demostrar la enlazado $\dfrac{N^{2}}{k}$; pero no puedo probar la enlazado $\dfrac{cN}{k}$.

Answer 1

Así, vimos el otro día que la observación de que $1/N=N^2/N$ conduce a un contraejemplo. Nada como hacer un blithering idiota de uno mismo para la motivación.... Tomaremos $2\pi$ y tal vez de otras absoluta constantes de los que tienen el valor de $1$. Las letras $I$ $J$ siempre denotan intervalos; como de costumbre, $|I|$ es la longitud de $I$.

Bombilla: Si $I$ $J$ son intervalos separados por una cierta cantidad, a continuación, $\chi_I*\phi$ $\chi_J*\phi$ han desunido apoyo si $\phi$ se apoya en una lo suficientemente pequeño intervalo.

Si quieres averiguarlo usted mismo usted puede pensar acerca de eso y por lo que ayuda.

Fix $k$. Deje $$A=\{j\,:\,|I_j|\ge1/k\},\quad B=\{j\,:\,|I_j|<1/k\}.$$

En general, escribir $$f_E=\sum_{j\in E}\chi_{I_j}.$$

Los pequeños intervalos son triviales: $$\sum_{n>k}|\hat f_B(n)|^2\le||f_B||_2^2=\sum_{j\in B}|I_j|\le\frac Nk.$$

Dicen que una familia de intervalos es $\delta$separados si $I\ne J$, $s\in I$, $t\in J$ implican $|s-t|\ge\delta$. Podemos escribir $$A=A_1\cup A_2\cup A_3$$in such a way that $\{I_j\,:\,j\en A_m\}$ is $1/k$-separated (if $N$ is even then two sets are enough). Let $$\phi_k=k\,\chi_{[0,1/k]}.$$First, note that there exists $\lambda\en(0,1)$, independent of $k$, such that $$|\hat\phi_k(n)|\le\lambda\quad(n\ge k>0).$$

Si $I$ es cualquier intervalo de definir $$\psi_I=\chi_I-\phi_k*\chi_I.$$Note that $|\psi_I|\le1$ and $\psi_I$ vanishes outside a set of measure no larger than $2/k$; hence $$||\psi_I||_2^2\le\frac2k.$$

Y finalmente el punto: Si $I$ $J$ $1/k$separados por intervalos, a continuación, $\psi_I$ $\psi_J$ tienen esencialmente distinto de apoyo, por lo tanto $$\psi_I\perp\psi_J.$$

[Añade después: Una imagen hace que el último par de afirmaciones claras. Una manera concisa de decir lo que la imagen se parece a: Si $I=(a,b)$$b-a>1/k$$\chi_{(a+1/k,b)}\le\phi_k*\chi_I\le\chi_{(a,b+1/k)}$.]

Y ahora que hemos terminado. Dado que los intervalos de $I_j$ $j\in A_m$ $1/k$separados tenemos $$\sum_{n>k}|\sombrero f_{A_m}(n)|^2\le\frac1{1-\lambda}\sum_{n>k}\left|\sum_{j\en A_m}\hat\psi_{I_j}(n)\right|^2 \le\frac1{1-\lambda}\left|\left|\sum_{j\en A_m}\psi_{I_j}\right|\right|_2^2 =\frac1{1-\lambda}\sum_{j\en A_m}\left|\left|\psi_{I_j}\right|\right|_2^2 \le\frac2{1-\lambda}\frac NK.$$

Answer 2

Lo que sigue no es una solución, pero algunas observaciones--tal vez trivial-que pueden ayudar a alguien a obtener el $O(N/k)$ unido.

Lema. Para cualquier distintos intervalos de $\left\{I_{j}=(a_{j},b_{j})\right\}_{j=1}^{N}\subset\mathbb{T}$,

$$\sum_{n>k}\left|\widehat{f}(n)\right|^{2}\lesssim N^{2}/k$$

donde $f:=\sum_{j=1}^{N}\chi_{I_{j}}$.

Prueba. Por linealidad, $\widehat{f}(n)=\sum_{j=1}^{N}\widehat{\chi}_{I_{j}}(n)$, y

$$\widehat{\chi}_{I_{j}}(n)=\dfrac{e^{-2\pi i nb_{j}}-e^{-2\pi i na_{j}}}{-2\pi i n}$$

De donde por la desigualdad de triángulo,

$$\left|\widehat{f}(n)\right|^{2}\leq\left|\sum_{j=1}^{N}\dfrac{2}{2\pi\left|n\right|}\right|^{2}\leq\dfrac{N^{2}}{\pi n^{2}}$$

Desde $\sum_{\left|n\right|>k}n^{-2}=O(k^{-1})$, la conclusión de la siguiente manera. $\Box$

En primer lugar, observar que

\begin{align*} \sum_{\left|n\right|>k}\left|\widehat{f}(n)\right|^{2}=\sum_{j=1}^{N}\sum_{\left|n\right|>k}\left|\widehat{\chi}_{I_{j}}(n)\right|^{2}+\sum_{i\neq j}\sum_{\left|n\right|>k}\widehat{\chi}_{I_{j}}(n)\overline{\widehat{\chi}_{I_{i}}}(n) \end{align*}

Sabemos, por el lema de que el primer término es $O(N/k)$, por lo que una estimación adecuada para el segundo término se obtendrá el resultado deseado.

Segundo, se observa que desde el indicador de funciones $\chi_{I_{j}}$ son mutuamente ortogonales en $L^{2}(\mathbb{T})$. Así, por $i\neq j$,

$$0=\langle{\chi_{I_{j}},\chi_{I_{i}}}\rangle=\langle{\sum_{n}\widehat{\chi}_{I_{j}}(n)e_{n},\sum_{n}\widehat{\chi}_{I_{i}}(n)e_{n}}\rangle=\sum_{n}\widehat{\chi}_{I_{j}}(n)\overline{\widehat{\chi}}_{I_{i}}(n)$$

En particular,

$$\sum_{\left|n\right|>k}\widehat{\chi}_{I_{j}}(n)\overline{\widehat{\chi}}_{I_{i}}(n)=-\sum_{\left|n\right|\leq k}\widehat{\chi}_{I_{j}}(n)\overline{\widehat{\chi}}_{I_{i}}(n)$$

Como dije anteriormente, no estoy seguro de que esto nos--si en cualquier lugar en absoluto.