Prueba de $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} =0$

Question

Demostrar que $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} =0$$

Para un determinado $\epsilon \gt 0$ tenemos

$$\begin{align}\left |\frac{\sin x}{x} -0\right|&\lt \epsilon\\ \implies \frac{|\sin x|}{|x|} &\lt \epsilon\end{align}$$

A partir de aquí, ¿cómo podemos obtener un $M \gt 0$ tal que $x \gt M$ $\implies$ $|f(x)-L|\lt \epsilon$

Answer 1

La prueba es la siguiente:

Sea $\epsilon>0$ . Tenemos que encontrar un $M=M(\epsilon)>0$ tal que para cada $x>M$ tenemos que $\left|\frac{\sin x}{x}\right|<\epsilon$ .

Tenga en cuenta que $|\sin x|\leq1$ para cada $x\in\mathbb{R}$ . Obsérvese también que, a partir del Principio de Arquímedes-Eudoxo, podemos encontrar un $n_0=n_0(\epsilon)\in\mathbb{N}$ tal que: $$\frac{1}{n_0}<\epsilon$$

Sea $M=n_0$ . Ahora bien, puesto que $\frac{1}{x}$ es estrictamente decreciente y, por tanto $x>M\Rightarrow\frac{1}{x}<\frac{1}{M}=\frac{1}{n_0}<\epsilon$ tenemos, para cada $x>M>0$ : $$\left|\frac{\sin x}{x}\right|\leq\left|\frac{1}{x}\right|\overset{x>0}{=}\frac{1}{x}<\frac{1}{M}<\epsilon$$ Así pues, la prueba está completa.

Answer 2

La función $\sin x$ siempre se encuentra entre $0$ y $1$ . Así que tendrá cualquiera de los valores entre $0-1$ cuando $x$ tiende a infinito. Así pues $x$ tiende a infinito $\frac{\sin x}{x}$ será cero.