¿Cómo calcular la desviación absoluta de la mediana de una función continua?

Question

Sé que el valor mediano $(\text{Med})$ para una variable $X$ caracterizada por la función PDF contenciosa $f_X(x)$ puede calcularse hallando $\text{Med}$ en:

$\int^\text{Med}_{-\infty} dF_X(x) = \int^\text{Med}_{-\infty} f_X(x) dx = {1\over2}$

Y $F(x)$ es la FCD de $X$ . En otras palabras:

$ \text{Med} = F^{-1}(1/2)$

Así que si $f_X(x) = {1\over b-a}$ es decir una distribución uniforme [a,b] tenemos que:

$\int^\text{Med}_{a} {1\over b-a} dx = {\text{Med}-a\over b-a} = {1\over2}$

y

$Med = {1\over2}(b+a)$

La desviación absoluta mediana viene dada por

$ \text{Mad} = G^{-1}(1/2)$

Dónde $G$ es la FCD de |x-M|. ¿Cómo puedo encontrar $\text{Mad}$ ? ¿Existe una fórmula similar para ello?

Answer 1

Puede utilizar :

$G(x)=P(|X-M|\leq x)=P(X\in[M-x;M+x])$

Así, para una distribución uniforme, para $x\leq\frac{b-a}{2}$ :

$G(x)=\frac{2x}{b-a}$

$G(x)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{b-a}{4}$