Aclaración sobre la definición de medida de Lebesgue

Question

Estoy haciendo una lectura independiente sobre la medida de Lebesgue y tengo las siguientes preguntas:

1) sobre la definición de un conjunto medible de Lebesgue: Sea $E \subseteq \mathbb{R} $ . En Wikipedia, $$\mu(E) = \mu^*(E) \iff \mu^*(A) = \mu^*(A\cap E) + \mu^*(A\cap E^c) \, \, \text{for every} \, \, A \subseteq \mathbb{R}.$$ Sin embargo en otro texto, la definición de medible de Lebesgue se define como $$ \mu(E) = \mu^*(E) \iff \mu^*(A) = \mu^*(A\cap E) + \mu^*(A ^c\cap E) \, \, \text{for every} \, \, A \subseteq \mathbb{R}.$$ La distinción sutil, aunque aparentemente importante, es en qué intersección nos fijamos. ¿Es importante esta distinción? ¿Son equivalentes estas dos definiciones? Si es así, ¿podría explicar la compatibilidad?

2) sobre la motivación de tal definición: ¿por qué se define así el mensurable de Lebesgue? ¿Por qué no detenerse en la definición de $\mu^*(E)$ ? ¿Cuál es la motivación para utilizar $E$ como un conjunto de "particiones" (a falta de mejores palabras)? ¿Y por qué lo exigimos para cada $A \subseteq \mathbb{R}$ ?

3) sobre la existencia de contraejemplos: ¿Cuáles son algunos ejemplos comunes de conjuntos medibles no Lebesgue? ¿Dónde aparece en estos ejemplos la importancia de definir lo mensurable de la forma o formas anteriores? Es decir, ¿cuál es el ejemplo de un conjunto en el que al definir la mensurabilidad de forma diferente no se consigue captar la propiedad "deseada"?

Answer 1

1. Al menos en Royden y Fitzpatrick, se utiliza la primera definición de conjunto medible de Lebesgue. No creo que sean equivalentes; es probable que el texto tenga una errata.
2. Esta definición de medida de Lebesgue tiene la agradable propiedad de ser contablemente aditiva: para cualquier colección contable disjunta por pares $\{E_n\}$ de conjuntos en $\mathbb{R}$ , $\mu(\cup_n E_n)=\sum_n \mu(E_n)$ . mientras que para la medida exterior existen conjuntos disjuntos $A$ y $B$ tal que $\mu^*(A\cup B)<\mu^*(A)+\mu^*(B)$ .
3. Teorema de Vitali: Cualquier conjunto $E$ de números reales con medida exterior positiva contiene un subconjunto que no es medible. Puedes encontrar una copia gratuita de "Real Analysis" de Royden y Fitzpatrick en formato PDF si buscas en Google. En la 4ª edición, en la página 48, muestran cómo construir tales conjuntos no medibles, aunque la construcción que utilizan (y cada construcción que he visto de conjuntos no medibles) se basa en el axioma de elección.

Answer 2

Si denotamos la medida exterior de Lebesgue por $m^{*}$ entonces ya sabes $m^{*}$ es una función de $\mathcal{P}(\Bbb R)$ (el conjunto de todos los subconjuntos de $\Bbb R$ ) a $[0, \infty]$ .

Pero $m^{*}$ es sólo una medida externa. Para que sea una medida, tenemos que restringir su dominio. Así que no podremos encontrar la medida de Lebesgue de cada subconjunto de $\Bbb R$ . Entonces, ¿qué subconjuntos de $\Bbb R$ ¿Podemos "medir" con la medida de Lebesgue? Podemos medir los conjuntos que dividir cada subconjunto de $\Bbb R$ . Resulta que estos conjuntos forman un $\sigma$ -y $m^{*}$ satisface las propiedades de una medida en este $\sigma$ -álgebra. Llamamos $\sigma$ -álgebra: la $\sigma$ -de conjuntos medibles de Lebesgue. Denotamos la restricción de $m^{*}$ a este $\sigma$ -álgebra por $m$ .

Ahora, el punto de su pregunta es: ¿qué significa para un elemento de este $\sigma$ -para "dividir" cada subconjunto de $\Bbb R$ ? Bueno, nosotros decimos $E$ es medible en Lebesgue si para cada $A \subseteq \Bbb R$ , $m^{*}(A) = m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \cap E^{c})$ . Y tiene sentido intuitivo por qué usamos la palabra "dividir": estamos dividiendo o partiendo los elementos de $A$ en los que también están en $E$ y los que no están en $E$ y la suma de las medidas exteriores de cada uno de estos conjuntos es igual a la medida del conjunto.

Answer 3

Pienso en los conjuntos medibles de Lebesgue como aquellos subconjuntos de $\mathbb{R}$ cuyo complemento está suficientemente separado de sí mismo. Por ejemplo, $E = (0,2)$ y su complemento son bastante fáciles de distinguir. Ahora, la medida exterior $\mu^{\ast}$ de un subconjunto determinado $A$ de la recta real, se obtiene estimando el trazado de $A$ en la recta numérica por un número contable de rectas. Cada colección de rectas debe cubrir $A$ completamente, y tomamos el ínfimo de las longitudes de todas las coberturas posibles.

Desde $E$ y su complemento se pueden separar fácilmente en la recta real, es obvio que se puede estimar la longitud de $A$ simplemente estimando la parte contenida en $(0,2)$ y, a continuación, estimar la parte de la misma que queda fuera de $(0,2)$ .

Por otro lado, no se podría hacer eso con un conjunto no medible (por definición). Un conjunto no mensurable $E$ tendría que tener tal intrincación de puntos cercanos entre sí en infinitos lugares, que no podríamos separar bien el conjunto y su complemento. El resultado sería que para algún subconjunto $A$ de la recta real, siempre habría un solapamiento no trivial entre las cubiertas abiertas contables de $A \cap E$ y de $A \cap E^c$ dándole $$\mu^{\ast}(A \cap E) + \mu^{\ast}(A \cap E^c) > \mu^{\ast}(A)$$