Demostración del límite mínimo de una sucesión acotada

Question

He intentado encontrar una prueba para esta afirmación: Si tenemos una secuencia acotada $x_n$ entonces el límite mínimo se define como $a=\liminf_n x_n$ tal que $a$ es el mayor de los números reales que tienen la propiedad de que para todo $a' < a$ tenemos finitamente muchos $x_n < a'$ .

Intuitivamente puedo ver que esto es válido: Si tenemos un gráfico de una secuencia acotada $x_n$ trazamos una línea horizontal $y=a' < a$ y debe haber un número finito de $x_n$ puntos en la parte inferior de la línea. Pero tan pronto como esa línea pasa $y=a$ entonces el número $x_n$ puntos bajo la línea se hace infinito. He fracasado estrepitosamente a la hora de plasmar este pensamiento en un enunciado matemáticamente válido, así que he recurrido aquí en busca de ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Esta es una de las definiciones de $\lim \inf$ . Hay varias entre las que podemos elegir, yo utilizaré la siguiente definición de $\lim \inf$ : Sea $x_n$ sea una sucesión acotada y sea $E \subset \mathbb{R}$ sea la colección de todos los límites subsiguientes de $x_n$ . Definimos $$a=\lim\inf x_n = \inf \{ x \in E \}$$

Ahora supongamos que hay un $a' < a$ para las que hay infinitas $n$ tal que $x_n < a'$ . Esto significa que existe una subsecuencia de $x_n$ Llámalo $x_{n_k}$ para lo cual $x_{n_k} < a'$ para todos $k$ . Esta subsecuencia está acotada, lo que significa que existe algún límite subsecuente. Este límite puede ser como máximo $a'$ que es estrictamente inferior a $a$ . Esto es una contradicción.

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Para la definición que has solicitado se puede demostrar de forma similar. Supongamos que hay un número infinito de $n$ para lo cual $x_n < a' < a$ . Esto significa que para cada $n$ hay un $k>n$ para lo cual $x_k < a'$ . Por lo tanto $y_n = \inf_{k>n} x_k < a'$ para todos $n$ . Ahora esta secuencia $y_n$ tiene como límite superior $a'$ et $\lim\inf x_n = \lim_{n\to \infty} y_n \le a'$ lo cual es una contradicción.