Demostrar que una función no es una contracción

Question

Estoy resolviendo el siguiente problema y sus partes.

Sea (C[0,1], $d_\infty$ ) sea el espacio métrico de funciones continuas sobre [0,1] donde la función distancia está definida por

$d_\infty(f,g)=\sup_{x[0,1]}|f(x)g(x)|.$

Sea $T : (C[0, 1], d_\infty)\to (C[0, 1],d_\infty$ ) definido por

$(Tf)(x)=\int_0^xf(t)dt$

Demuéstralo:

T no es una contracción, es decir, no existe 0 < K < 1 tal que $d_\infty(T f, T g)\leq K · d_\infty(f, g)$ es válida para cualquier $f,g C[0,1]$ .

He intentado un ejemplo pero no he llegado a ninguna parte. Mi trabajo es el siguiente:

$$f'(t)=\int_0^xtdt=\frac{x^2}{2}=F(x)-F(0)$$ así que elegimos $t$ & $t^2$ tal que $d$ ( $t$ , $t^2$ )=sup[ $t$ - $t^2$ ] con valor máximo = $\frac{1}{4}$ y $d$ (T $t$ ,T $t^2$ )=sup[ $\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}$ ] con valor máximo =.167

Answer 1

Toma $f \equiv 1$ y $g\equiv 0$ . Entonces, $$d_\infty(Tf,Tg) = 1 = d_\infty(f,g).$$

Answer 2

Sea $E:=\mathcal{C}^0([a,b],d_\infty)$ para cualquier $-\infty<a<b<+\infty$ . Entonces $(E,d_\infty)$ es un espacio de Banach, por lo que suponiendo por contradicción que $T$ es una contracción, existe un único punto fijo $f$ para $T$ por el teorema del punto fijo de Banach.

Toma $\alpha>0$ y que $g_\alpha\in E$ se define por $g_\alpha(x):=\mathrm{e}^{\alpha x}$ . Entonces, como $Tf=f$ , obtenemos: $$d_\infty(f-Tg_\alpha)=d_\infty(Tf-Tg_\alpha)<d_\infty(f-g_\alpha).$$ Por continuidad en $\alpha>0$ del LHS y el RHS anteriores, y por la acotación de $f$ en $[0,1]$ tenemos $$d_\infty(f-Tg_\alpha)=\sup_{x\in[0,1]}\left|f(x)-\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}}{\alpha}\right|\underset{\alpha\to0^+}{\longrightarrow}+\infty$$ mientras que $$d_\infty(f-g_\alpha)=\sup_{x\in[0,1]}\left|f(x)-\mathrm{e}^{\alpha x}\right|\underset{\alpha\to0^+}{\longrightarrow}\sup_{x\in[0,1]}\left|f(x)-1\right|<+\infty,$$ una contradicción.

Por tanto, la conclusión es que $T$ no puede ser una contracción de $E$ .

EDITAR: De hecho, $T$ tiene un único punto fijo que es la función trivial $f=0_E$ ver allí: Por qué $f(x)=e^x$ es un punto fijo de $T$ ? El argumento anterior puede adaptarse a situaciones en las que el punto fijo, si existe, no es trivial.