Número de parámetros para describir la rotación en $n$ dimensiones.

Question

Para preservar el producto interior de los vectores $x'\cdot x' = x\cdot x $

La transformación lineal $ x' = U x $ necesita satisfacer

$UU^T=I$ .

¿Cuántos parámetros libres nos quedan?

Y también, si requerimos que $\det(U) = +1$ ¿no debería eso reducir el número de parámetros libres en $1?$

Answer 1

Podemos contar grados de libertad y restricciones. Dado que $U \in \mathbb R^{n\times n}$ entonces tiene $n^2$ (o grados de libertad). Sin embargo, al ser ortogonal, existen varias limitaciones. En primer lugar $UU^T$ produce unos en la diagonal, lo que impone una restricción a la longitud de cada fila de $U$ . El número de restricciones de longitud es $n$ . En segundo lugar, porque $UU^T$ produce ceros en los off-diagonales esto significa que las filas son todas ortogonales entre sí. Esto introduce otro ${n \choose 2} = \frac{n(n-1)}{2}$ limitaciones. Por lo tanto, los grados de libertad menos los rendimientos de restricción:

DOF neto = $n^2 - n - \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$