Vector propio y vector propio adjunto no ortogonales

Question

Sea $A\in M_n (\mathbb{C})$ para lo cual $$ Aq = \lambda q, $$ donde $q$ es su vector propio correspondiente a a simple valor propio $\lambda$ .

Consideremos el vector propio adjunto $p$ : $$ A^* p = \bar{\lambda} p. $$

¿Cómo se demuestra que $(p, q)\neq 0$ donde $(\cdot,\cdot)$ representa el producto escalar estándar en $\mathbb{C}^{n}$ ? En otras palabras, $p$ y $q$ no son ortogonales?

Encontré esta afirmación en Elementos de teoría de bifurcación aplicada [Yuri A. Kuznetsov] en la página 92.

Answer 1

Sea $A \in M_n(\mathbb{C})$ sea una matriz tal que $0$ es un valor propio simple de $A$ (es decir, la multiplicidad algebraica de $0$ es uno). Sea $q \neq 0$ tal que $Aq = 0$ y $p \neq 0$ tal que $A^{*}p = 0$ . Supongamos que $p \perp q$ . Entonces $$q \in \operatorname{span} \{ p \}^{\perp} = \ker(A^{*})^{\perp} = \operatorname{Im}(A) $$

así que escribe $q = Av$ para algunos $v \neq 0$ . Entonces $A^2v = Aq = 0$ y $q,v$ son linealmente independientes por lo que $\dim \ker(A^2) \geq 2$ lo que implica que la multiplicidad algebraica de $0$ es $\geq 2$ una contradicción.

Para su situación, aplique lo anterior a $A - \lambda I$ y concluir que $p,q$ no pueden ser perpendiculares.

Answer 2

Supongamos por el momento que $(p,q)=0$ . Existe una matriz unitaria $U$ cuya primera columna es $q$ y la segunda columna es $p$ . Entonces $$ A_U := U^* A U = \begin{pmatrix} \lambda & + & + \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & + & B \end{pmatrix}, $$ donde $+$ denota elementos arbitrarios de la matriz, y $B$ es una matriz de dimensión $(n-2) \times (n-2)$ . Los valores propios de $A_U$ son los mismos que los de $A$ . Sin embargo, nótese que el polinomio característico de $A_U$ es $$ p_{A_U}(t) = (\lambda - t)^2p_B(t). $$ Por lo tanto, la multiplicidad algebraica de $\lambda$ es al menos dos y $\lambda$ no es sencillo.