Ahora estoy estudiando la derivada total de una función. La definición de la diferenciabilidad de la función vector-valorada $\mathbf{f}$ se da en mi libro de la siguiente manera :
Sea $\mathbf{f} : S \longrightarrow \mathbb R^{m}$ sea una función definida sobre un conjunto $S \subset \mathbb R^{n}$ con valores en $\mathbb R^{m}$ .Let $\mathbf{c}$ sea un punto interior de $S$ y que $B(\mathbf{c}; r)$ ser un $n$ -pelota tumbada en $S$ . Sea $\mathbf{v}$ sea un punto en $\mathbb R^{n}$ con $||\mathbf{v}|| < r$ de modo que $\mathbf{c} + \mathbf{v} \in B(\mathbf{c}; r)$ A continuación, la función $\mathbf{f}$ se dice que es diferenciable en $\mathbf{c}$ si existe un operador lineal $T_{\mathbf{c}} : \mathbb R^{n} \longrightarrow \mathbb R^{m}$ tal que
$\mathbf{f}(\mathbf{c} + \mathbf{v}) = \mathbf{f}(\mathbf{c}) + T_{\mathbf{c}}(\mathbf{v}) + ||\mathbf{v}|| E_{\mathbf{c}}(\mathbf{v})$ donde $E_{\mathbf{c}}(\mathbf{v}) \rightarrow \mathbf{0}$ como $\mathbf{v} \rightarrow \mathbf{0}$ La función lineal $T_{\mathbf{c}}$ se denomina derivada total de $\mathbf{f}$ en $\mathbf{c}$ .
Pero mi pregunta es ''¿cómo puede ser la derivada total un operador lineal?'' En particular si $f$ es una función real de variable real, entonces si $f$ es diferenciable en $c$ entonces tengo una pregunta.
Es $f'(c)$ la derivada total de $f$ en $c$ ?
Si la respuesta es afirmativa, entonces ¿cómo es el número real $f'(c)$ se considera un operador lineal, es decir, una función. Por favor, ayúdenme a entender este concepto.
Gracias de antemano.
