Estoy tratando de hacer el siguiente problema y podría utilizar un poco de ayuda(de Apostol, Cálculo, Volumen I 7.11 Ex. 33 p. 291):
Una función $f$ tiene un tercer de satisface la relación
$$ \lim_{x \to 0} \left(1 + x + \dfrac{f(x)}{x}\right)^{1/x} = e^3.$$
Compute $f(0), f'(0), f''(0),$ y $\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}$ .
[ Pista: Si $\lim_{x \to 0} g(x) = A$ entonces $g(x) = A + o(1)$ como $x \to 0$ .]
El libro da las siguientes respuestas: $f(0) = 0, f'(0) = 0, f''(0) = 4$ y el límite $= e^2$ .
Parece que no puedo avanzar en esto. Es el último ejercicio de una sección de ejercicios sobre la toma de límites mediante el uso de expansiones polinómicas de funciones. (Este conjunto de ejercicios está inmediatamente antes de la sección sobre la regla de L'Hopital...) No sé si es aplicable aquí, pero se agradece una solución sin ella ya que Apostol pretende que esto se haga sin ella).
Mis primeros intentos consisten en escribir:
$$\begin{align*} & \lim_{x \to 0} \left(1 + x + \dfrac{f(x)}{x}\right)^{1/x} &= e^3.\\ \implies & \lim_{x \to 0} \left(e^{(1/x)\log(1 + x + f(x)/x)}\right) &= e^3.\\ \implies & \lim_{x \to 0} \left(e^{-\frac{\log x}{x} + \frac{1}{x} \log (x + x^2 + f(x))}\right) &= e^3. \end{align*}$$
Quería hacer esto para intentar llegar a un punto en el que pudiera escribir una expansión polinómica de $\log$ en $0$ pero no consigo avanzar en ese sentido. Tal vez haya una manera mejor de simplificar las cosas?
Gracias por cualquier ayuda. Soluciones completas o consejos son igualmente bienvenidos.
