Demuestra que si 3 circunferencias son tangentes entre sí, entonces las tangentes en los puntos de contacto son concurrentes.

Question

Demuestra que si 3 circunferencias son tangentes entre sí, entonces las tangentes en los puntos de contacto son concurrentes.

He intentado utilizar aquí el Teorema de Ceva pero no funciona ya que no sabemos si la tangente pasa por el centro de la tercera circunferencia si todas las circunferencias son de distinto tamaño.

¿De qué otra forma puedo proceder?

Gracias.

Answer 1

Puede utilizar una línea especial conocida como eje radical .

El eje radical es el lugar de todos los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a las 2 circunferencias en cuestión, es decir, la longitud de la tangente a ambas circunferencias desde cualquier punto de esta recta es la misma.

Se sabe que para cualesquiera 2 no concéntricas (que comparten un centro) que son tangentes entre sí, la tangente compartida es el eje radical.

Así se puede demostrar que para 3 circunferencias cualesquiera, las 3 tangentes formadas serán siempre concurrentes. La prueba es la siguiente:

Sea $w_1$ , $w_2$ y $w_3$ sean las 3 circunferencias tangentes entre sí. Podemos suponer que ninguna de ellas comparte centro ya que sería lo mismo que 2 circunferencias fueran tangentes.

Sabemos que para cualquier punto $P$ en el eje radical de $w_1$ y $w_2$ la potencia de P con respecto a $w_1$ y $w_2$ es el mismo.

También sabemos que para cualquier punto $P$ en el eje radical de $w_2$ y $w_3$ la potencia de P con respecto a $w_2$ y $w_3$ es el mismo.

Dado que las 2 rectas deben intersecarse (no pueden ser paralelas ya que esto implicaría que o bien no son tangentes entre sí o bien al menos 2 de ellas son idénticas y concéntricas), el punto de encuentro de los 2 ejes radicales tiene la misma potencia con respecto a $w_1$ , $w_2$ y $w_3$ . Esto implica que también debe estar en el eje radical de $w_1$ y $w_3$ . Por lo tanto, este punto es donde las 3 tangentes son concurrentes.