Demostrando que $\sqrt[3]{ 10 + 6\sqrt{3}} - \sqrt[3]{ - 10 + 6\sqrt{3}}$ se reduce a $2$

Question

Sé que esta ecuación es equivalente a $x=2$ pero no puedo simplificarlo. La ecuación es

$$x = \sqrt[3]{ 10 + 6\sqrt{3}} - \sqrt[3]{ - 10 + 6\sqrt{3}}$$

Answer 1

Esto se parece a Fórmula Cardano para una raíz cúbica $t^3+pt+q$ en $$\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$

Para un emparejamiento perfecto, hay que tener $q=-20$ .

$$\sqrt[3]{10+\sqrt{100+\frac{p^3}{27}}}-\sqrt[3]{-10+\sqrt{100+\frac{p^3}{27}}}$$

Y luego para $6\sqrt{3}$ a igual $\sqrt{100+\frac{p^3}{27}}$ necesitas $p=6$ . Así que este número que buscas es una raíz real para:

$$t^3+6t-20$$

Aplica el teorema de la raíz racional para descubrir que su única raíz real es $2$ .

Answer 2

Sea $u = \sqrt[3]{10 + 6 \sqrt{3}}$ , $v = \sqrt[3]{10 - 6 \sqrt{3}}$ . Tenemos $$u^3 + v^3 = 2\cdot 10 = 20 \\ u v = \sqrt[3]{(10 + 6 \sqrt{3})(10- 6 \sqrt{3})}= \sqrt[3]{100 - 36 \cdot 3} = \sqrt[3]{-8 }= -2$$

Entonces $u^3 + v^3 = (u+v)^3 - 3 u v ( u+v)$ . Por lo tanto, para $x = u+v$ obtenemos la ecuación

$$x^3 + 6 x - 20 = 0$$ Tenga en cuenta que $2$ es una solución ( $8 + 12 - 20 =0$ ). Obsérvese también que esta ecuación tiene una única solución real. Concluimos que $x = 2$ .

Nota: En esta solución no observamos que $\sqrt[3]{10 \pm 6 \sqrt{3}}= 1 \pm \sqrt{3}$ . Tal vez deberíamos. ¿Cómo conseguirlo? Bueno, los radicales son $a \pm b \sqrt{3}$ con $2 a = 2$ y $a^2 - 3 b^2 = -2$ Así que $a=1$ , $b=1$ . A continuación, compruebe $10 \pm 6 \sqrt{3}= (1\pm \sqrt{3})^3$ .