$\mathbb{R^2} \backslash (0,0)$ está conectado

Question

Aquí está mi prueba de ello -

Supongamos que $X = \mathbb{R^2} \backslash (0,0)$ no está conectado.

$\implies$ Existen subconjuntos abiertos disjuntos no vacíos $U, V \subseteq \mathbb{R^2} \backslash (0,0)$ s.t. $U \cup V = X$ .

$\implies \overline {U \cup V} = \overline X = X$

Pero $U, V$ abra $\implies U \cup V \neq \overline {U \cup V}$

Es decir $U \cup V \neq X$ . Esto es una contradicción, por lo tanto $X = \mathbb{R^2} \backslash (0,0)$ está conectado.

¿Es válida esta prueba?

Answer 1

Pista: Demostrar que el espacio es ven more: path-connected. Del círculo que tiene dos puntos dados como puntos extremos del diámetro a lo sumo un punto puede faltar, por lo tanto por lo menos un arco se deja intacto.

Answer 2

Pista: utilizar el hecho de que $X$ está conectado si $ f:X\to \{0,1\} $ es continua $\implies f$ es constante.

detalles:

Encontrar una trayectoria continua $\gamma:[0,1]\to X$ de $x$ a $y$ : $$ \gamma(0) = x, \gamma(1) = y $$ (véase el post de Hagen von Eitzen para una construcción explícita).

$f\circ\gamma:[0,1]\to\{0,1\}$ es continua, por lo tanto es constante: $f(x)= f\circ\gamma(0) = f\circ\gamma(1)=f(y)$ .

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La equivalencia con su definición:

• si $X=A\cup B$ con $A,B$ conjuntos abiertos no vacíos, entonces defina $f(x) = 1_A(x)$ . Entonces $f^{-1}(1), f^{-1}(0)$ son abiertos, por lo tanto $f$ es continua, y $f$ no es constante.
• Si $f:X\to \{0,1\}$ es continua: la elección $A=f^{-1}(1), B=f^{-1}(0)$ demuestra que $X$ no está conectado.

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NB: se puede demostrar que para un espacio abierto existe equivalencia entre estar conectado y estar conectado por caminos.

NB2: el resultado sigue siendo válido para $X-\{x_1,\dots x_n\}$ en lugar de $X-\{x\}$ .