El campo de funciones de $X$ se compone de funciones racionales definidas en $X$ . Así que consideramos sólo cocientes de polinomios, porque queremos funciones racionales y no funciones arbitrarias en general. Además queremos considerar iguales dos cocientes de polinomios $p/q$ et $p'/q'$ si son iguales si se restringen a $X$ es decir, si $f$ divide $pq' - p' q$ .
Más formalmente, supongamos $k$ es un campo algebraicamente cerrado y consideramos una subvariedad irreducible cerrada $X$ de $\mathbb{A}^n_k = k^n$ . El ideal de $X$ es el ideal $I(X) \subseteq k[x_1, \dots, x_n ]$ formado por polinomios que desaparecen en $X$ . Lo ideal $I(X)$ es primo ya que $X$ es irreducible. A función regular en $X$ es una función $f \colon X \to k$ tal que existe un polinomio $P \in k[x_1, \dots, x_n]$ tal que $f(x) = P(x)$ para todos $x \in X$ . Es evidente que el conjunto $k[X]$ de funciones regulares en $X$ es un $k$ -y $k[X] = k[x_1, \dots, x_n] / I(X)$ . Por lo tanto $k[X]$ es un dominio. El campo de cocientes $k(X)$ de $k[X]$ es el campo de las funciones racionales de $X$ . Así que $k(X)$ se compone de cocientes $P/Q$ donde $P$ et $Q$ son polinomios, bajo la equivalencia $\equiv$ definido por: $P/Q \equiv P' / Q'$ sólo si $P Q' - P' Q \in I(X)$ .
En tu caso, $X$ se define por $f = 0$ donde $f$ es un polinomio irreducible. Nullstellensatz implica $I(X) = (f)$ .
Existen generalizaciones. Después de definir lo que es una función regular sobre una variedad cuasi-proyectiva, podemos definir fácilmente el campo de las funciones racionales de una variedad cuasi-proyectiva irreducible. En teoría de esquemas, una función racional sobre un esquema integral $X$ es un elemento del tallo del punto genérico. Estas dos construcciones son casos particulares de lo siguiente: si $X$ es un espacio topológico irreducible, el conjunto de subconjuntos abiertos no vacíos es directo, por lo que si tenemos una ganga $F$ de grupos abelianos en $X$ podemos costruir $\lim_{\to} F(U)$ donde el límite es sobre subconjuntos no vacíos $U \subseteq X$ .
