Ecuación de Schrödinger, inversión temporal, energía negativa y antimateria

Question

Ya sabéis que no hay antipartículas para la ecuación de Schrödinger, he estado dándole vueltas a la ecuación y he encontrado una solución que parece indicar que sí las hay - probablemente me he dejado algo obvio, así que por favor, seguid leyendo y decidme el error que he cometido...

Ecuación de Schrödinger de la Guía Princeton de Física Avanzada p200, escribir $\hbar$ = 1, entonces para la partícula libre

$$i \psi \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{2m}\frac{\partial ^2\psi }{\partial x^2}T$$

reorganice

$$i \frac{1}{T} \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{i^2}{2m}\frac{1}{\psi }\frac{\partial ^2\psi }{\partial x^2}$$

es cierto si ambos lados son iguales $\alpha$

se puede demostrar que existe una solución general (1)

$$\psi (x,t) \text{:=} \psi (x) e^{-i E t}$$

Pero si divido el tiempo en dos conjuntos, pasado -t y futuro +t y permito que la energía sólo tenga valores negativos para -t, y positivos para +t, entonces la solución general anterior puede escribirse como (2)

$$\psi (x,t) \text{:=} \psi (x) e^{-i (-E) (-t)}$$

y puede verse que (2) es lo mismo que (1), diagramáticamente

Y ahora, si describo el tiempo como monotónicamente decreciente para t < 0, parece como si la materia (léase antimateria) retrocediera en el tiempo. Es como si la materia y la antimateria se crearan en el tiempo cero (léase el marco de reposo), lo que coincide con una interpretación de la ecuación de Dirac.

Esto viola el principio de Hamilton de que la energía nunca puede ser negativa, sin embargo, creo que puedo evitarlo sugiriendo que nunca vemos los estados negativos, sólo las consecuencias de la antimateria que dispersa la luz que se mueve hacia adelante en el tiempo a nuestro marco de referencia.

En otras palabras, la información del cuatro vector de la antipartícula se rota a nuestro marco de referencia.

Nunca había visto esto antes, así que supongo que me he perdido algo obvio - muchas disculpas por adelantado, no estoy tratando de probar algo, sólo confundido.

Answer 1

Las funciones $-iEt$ et $-i(-E)(-t)$ son exactamente iguales por lo que obviamente corresponden al mismo signo de energía si aparecen en el exponente que define a $|\psi\rangle$ .

Parece que usted piensa que puede reemplazar libremente $t$ por $-t$ y no cambiar nada más. Sin embargo, esta operación no es una simetría de las leyes de la física, como de hecho has demostrado para la ecuación de Schrödinger (porque también necesitas cambiar el signo de $E$ o el cartel delante de $H$ para que funcione).

La simetría de inversión temporal correcta actúa sobre la función de onda en el modelo más simple de la ecuación de Schrödinger como $$ T: \psi(x,t)\mapsto \psi^T(x,t)= \psi^*(x,-t) $$ Obsérvese que aquí hay una conjugación compleja adicional: decimos que este mapa es "antilineal" en lugar de lineal. Esta conjugación compleja asigna $\exp(ipx) $ a $\exp(-ipx)$ lo que significa que invierte el signo de los momentos (y velocidades), según sea necesario para que la(s) partícula(s) evolucione(n) hacia atrás en el tiempo relativamente al estado original. Esta conjugación compleja también restaura la positividad de la energía si la ecuación original tenía un Hamiltoniano definido positivo.

Obsérvese que el signo de la energía y el signo de la dirección del tiempo están correlacionados, al igual que la posición está correlacionada con el momento a través de $[x,p]=i\hbar$ . Son "complementarios" aunque la interpretación tiene que ser un poco diferente para $E,t$ .

Answer 2

Feynman estudió la relación entre la energía negativa, la antimateria y las partículas que retroceden en el tiempo. Permítanme citarlo [1]:

" La idea fundamental es que los estados de "energía negativa" representan los estados de los electrones que retroceden en el tiempo [...] invertir la dirección del tiempo propio s equivale a invertir el signo de la carga, de modo que el electrón que retrocede en el tiempo parecería un positrón que avanza en el tiempo. "

Utiliza la ecuación clásica del movimiento para una demostración sencilla, pero luego utiliza la representación de los positrones como electrones que se mueven hacia atrás en el tiempo en su planteamiento de la ecuación de Dirac para la QED. Obsérvese que el núcleo de propagación asociado a la ecuación de Dirac toma valores distintos de cero para tiempos negativos. Pero tomando el límite no relativista, el núcleo de propagación asociado a la ecuación de Schrödinger es exactamente cero para tiempos negativos (véase 15-3) y no hay lugar para antipartículas dentro del régimen de Schrödinger. De hecho lo confirma antes (15-12): " En el caso no relativista, se excluyen las trayectorias a lo largo de las cuales la partícula invirtió su movimiento en el tiempo ".

La desaparición de los niveles de energía negativos en el límite no relativista puede demostrarse fácilmente en la técnica de las componentes grandes y pequeñas de las funciones de onda de Dirac.

[1] Sección "Interpretación de los estados de energía negativos" En Richard P. Feynman. Quantum Electrodynamics; Advanced Book Classics; Perseus Books Group; 1998.

Answer 3

La energía mostraría tanto energía positiva como negativa si fuera una entidad viva. Así que primero hay que responder: ¿está vivo el tiempo? Para resolver cualquier ecuación, ¿no deberías conocer los valores de todas las propiedades que contiene? Identifica primero las propiedades. Sólo entonces podrías resolverla.

Answer 4

Intenta repasar las matemáticas si supones que el propio Tiempo es una forma negativa de materia y energía. Somos muy buenos midiendo el tiempo, pero hasta ahora nunca hemos conseguido explicar qué es exactamente. El tiempo se creó en el Big Bang para equilibrar la creación de materia y energía. Muestra una fuerza gravitatoria negativa.