Media cuadrática trapezoidal

Question

Estoy tratando de probar que la longitud de la línea $AB$ , paralela a ambas bases de un trapezoide, que corta un trapezoide en dos trapecios de igual área es la Raíz Cuadrada Media de las bases. En otras palabras, si la longitud de la base superior es $a$ y la longitud de la otra base es $b$ entonces :

$AB=\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

Llevo un par de días atascado en esto. ¿Puede alguien darme una pista? Por favor, no se limiten a exponer la prueba. Ya he intentado usar las áreas de los dos trapezoides para obtener la RMS.

Answer 1

Convertir los comentarios en una respuesta, como se solicita ...

---

Supongamos que $a$ es la base más corta (y "superior"). Traza una línea que pase por un extremo de la $a$ -paralela al lado opuesto; esto corta el trapezoide en un paralelogramo (con bases superior e inferior). $a$ ) y un triángulo (con base (inferior) $b-a$ ). La línea trazada separa su "base media", digamos de longitud $c$ en una parte (de longitud $a$ ) dentro del paralelogramo y una parte (de longitud $c-a$ ) dentro del triángulo.

Si $h$ es la altura del paralelogramo (y del triángulo), y $k$ es la altura del subtrapecio superior (y del subtriángulo superior), entonces, por similitud, $$\frac{k}{h}=\frac{c-a}{b-a} \tag{1}$$

Ahora, suponiendo que la base media biseca el área, de modo que el área del subtrapecio superior es la mitad del entero, tenemos $$\frac{1}{2}k(a+c) = \frac12\cdot\frac12h(a+b) \quad\to\quad \frac{k}{h} = \frac12\frac{a+b}{a+c} \tag{2}$$

Configuración $(1)$ y $(2)$ igual da $$\frac{c-a}{b-a}=\frac12\frac{a+b}{a+c}\quad\to\quad 2(c^2-a^2) = b^2-a^2 \quad\to\quad 2c^2 = a^2+b^2 \tag{3}$$ que es la relación de destino. $\square$