Productos Eta y curvas elípticas modulares

Question

Recientemente, la curva elíptica $E:y^2+y=x^3-x^2$ de conductor $11$ (que aparece en mi respuesta ) se convirtió en mi elíptica favorita por encima de $\bf Q$ porque la forma modular asociada $$ F=q\prod_{n>0}(1-q^n)^2(1-q^{11n})^2 $$ es tan agradable " $\eta$ -producto". (Esta forma modular también está asociada a la curva elíptica isógena $y^2+y=x^3-x^2-10x-20$ que aparece en Pregunta de Franz .)

Pregunta. ¿Existen otras curvas elípticas sobre $\bf Q$ que tienen una ecuación mínima simple y cuya forma modular asociada es una bonita $\eta$ -producto o incluso un bonito $\eta$ -¿Cociente?

Conozco dos referencias que podrían tener relación con la cuestión

--- Artículo de Koike sobre la conjetura de McKay

y

--- p.18 de Ono Red de modularidad en $\eta$ -coeficientes.

¿Alguien puede facilitar una lista parcial o exhaustiva de estas bonitas parejas? $(E,F)$ ?

Answer 1

Existe una lista exhaustiva en el documento [Y. Martin y K. Ono, Eta-Quotients and Elliptic elípticas, Proc. Amer. Math Soc. 125 (1997), nº 11, 3169--3176]. Supongamos que $E_N$ es una curva elíptica de conductor $N$ correspondiente $L$ -serie se asigna al producto eta $$ \eta(a\tau)\eta(ab\tau)\eta(ac\tau)\eta(abc\tau), $$ donde $a+ab+ac+abc=24$ , $a,b,c\in\mathbb Z$ , para los siguientes valores de $N$ y $(b,c)$ : $$ \begin{align*} N &\quad (b,c)\cr 11 &\quad (1,11)\cr 14 &\quad (2,7)\cr 15 &\quad (3,5)\cr 20 &\quad (1,5)\cr 24 &\quad (2,3)\cr 27 &\quad (1,3)\cr 32 &\quad (1,2)\cr 36 &\quad (1,1)\cr \end{align*} $$ Probablemente sea más emocionante que todas estas curvas elípticas y sus $L$ -serie en $s=2$ aparecen en las conjeturas de Boyd sobre la medida de Mahler. Para una buena revisión de esta historia véase [M.D. Rogers, Hypergeometric formulas for lattice sums and Mahler measures, arXiv:0806.3590 ] y el artículo original [D.W. Boyd, Mahler's measure and special values of $L$ -funciones, Experimento. Matemáticas. 7 (1998) 37--82].

Answer 2

Esto no cabe en una caja de comentarios así que aquí está :

Esta tarde he encontrado otra pequeña pepita en el libro de Kilford (p.101). En $k>0$ , $N>0$ sean números enteros tales que $k.(N+1)=24$ es decir, uno de los pares

$(12,1)$ , $(8,2)$ , $(6,3)$ , $(4,5)$ , $(3,7)$ , $(2,11)$ o $(1,23)$ .

Entonces $(\eta(q)\eta(q^N))^k$ está en $S_k(\Gamma_0(N))$ a menos que $k=1$ o $k=3$ en cuyo caso está en $S_k(\Gamma_0(N),({{}\over N}))$ . Esto implica, en particular, que la forma

$q\prod_{n>0}(1-q^n)(1-q^{23n})$

que aparece en Respuesta de Emerton pertenece a $S_1(\Gamma_0(23),({{}\over 23}))$ .

Answer 3

Hoy me he topado con el siguiente teorema de Mersmann: Hay precisamente 14 eta-productos primitivos que son formas modulares holomorfas de peso $\frac{1}{2}$ , a saber ...

También demuestra una conjetura de Zagier en el sentido de que esencialmente sólo hay finitamente muchos de estos productos de cualquier peso dado.

Conocí estos hechos gracias a la contribución de Zagier a la El 1-2-3 de las formas modulares (que casualmente ha sido mencionado por Wadim Zudilin).

Anexo (2011/02/10) He encontrado un anuncio del libro Productos eta e identidades de series theta por Günter Köhler.