Yo también estoy estudiando algunos conceptos de topología algebraica, y he leído últimamente un poco sobre anillos de cohomología (creados por la suma directa de grupos de cohomología) pero además de todas las definiciones no he podido encontrar ninguna información.
Gracias
La idea principal detrás del anillo de cohomología es que tienes una estructura extra que te permite decir más sobre tu espacio. En algunos casos, se puede utilizar para decir que dos espacios que tienen grupos de (co)homología isomorfos son diferentes porque tienen anillos de cohomología diferentes, y en algunos casos se puede inferir información sobre los grupos de cohomología sabiendo que existe una estructura adicional.
Para un ejemplo del primer caso, la cohomología del espacio proyectivo real es $H^*(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]/(x^{n+1})$ . Esto distingue el espacio proyectivo de un producto cuña $\bigvee_{i\leq n} S^i$ porque la multiplicación en el anillo de cohomología correspondiente es trivial.
Para un ejemplo del segundo caso, supongamos que un espacio tiene un producto sobre él que satisface algunas condiciones suaves, convirtiéndolo en un Espacio H . Entonces el anillo de cohomología será un álgebra de Hopf,. Si el espacio es también una multitud compacta conexa, entonces (tomando la cohomología sobre un campo de característica cero) se puede utilizar la clasificación de las álgebras de Hopf conectivas, de tipo finito y conmutativas (el teorema de Milnor-Moore) para decir qué aspecto tiene el anillo. En particular, debe ser el álgebra alternante sobre generadores de grado impar. Esto es suficiente para demostrar que no hay análogos impar-dimensionales de los cuaterniones.
Se me olvidan ejemplos realmente sencillos que ejemplifiquen el poder de los anillos de cohomología, pero al menos debería ser plausible que, igual que se pueden decir cosas útiles sabiendo que un conjunto tiene una estructura de grupo, se pueden decir cosas útiles sabiendo que un espacio vectorial graduado tiene una estructura de anillo conmutativo graduado.
Otra aplicación digna de mención es que el anillo de cohomología (más la dualidad de Poincare) nos permite estudiar las intersecciones de forma algebraica.
Supongamos que $M$ es un $n$ dimensional orientada compacta, y que $X$ y $Y$ son submanifolds orientados con $\dim X + \dim Y = n$ . Si perturbamos $X$ y $Y$ ligeramente (para que la intersección sea transversal Si contamos correctamente la orientación y la multiplicidad, el número de puntos de intersección es independiente de nuestra perturbación. Denotamos este número de intersección por $I_M(X,Y)$ . Esto da lugar a invariantes topológicas interesantes. Por ejemplo, si incrustamos $X$ en $X\times X$ a través de la incrustación diagonal, entonces $I_{X\times X}(X,X)=\chi(X)$ es la característica de Euler de $X$ .
Resulta que podemos describir los números de intersección en términos del anillo de cohomología. Dado $X$ y $Y$ existen las correspondientes clases cohomológicas $[X]$ y $[Y]$ (llamadas clases fundamentales), y emparejando el $[X]\cup [Y]$ con el ciclo de orientación en la homología de grado superior arroja un número, que es exactamente el número de intersección de $X$ y $Y$ .
Esto también se ha aplicado a la geometría algebraica con gran éxito. El geómetra algebraico que hay en ti quizá quiera estudiar la teoría de la intersección y la cohomología de la intersección.
Uno de los motivos por los que los funtores de cohomología (y homología, y grupo de homotopía) son tan importantes es que proporcionan un medio para comprobar la similitud entre dos espacios. Por ejemplo, el funtor $\pi_1$ basta para distinguir $\mathbb{R}^1$ de $\mathbb{R}^2$ hasta el homeomorfismo (eliminando un punto); de forma más general, el $k$ El grupo de homotopía (u homología) distinguirá $\mathbb{R}^k$ de $\mathbb{R}^m$ , $m > k$ .
Ahora bien, la cohomología, la homología y los grupos de homotopía (y la teoría K y otras teorías de la cohomología) son functores de alguna categoría de espacios a alguna categoría algebraica. Presumiblemente, la idea es que la categoría algebraica será más fácil de pensar -- uno puede calcular explícitamente, al menos si el functor aplicado a espacios agradables produce resultados simples (lo que sucede a menudo).
Al mismo tiempo, si queremos que sean una herramienta poderosa para distinguir espacios, queremos que estos funtores tomen valores no en la categoría más simple (por ejemplo, la categoría de conjuntos), sino en una categoría con más estructura: grupos o, mejor, anillos. El producto taza muestra que el funtor de cohomología toma su valor en la categoría de los anillos.
Esto significa en la práctica que si se tienen dos espacios con cohomologías de aspecto similar como grupos abelianos, todavía se puede decir que son diferentes si la anillo estructuras son diferentes. Como ejemplo, se puede ver que el espacio proyectivo complejo $\mathbb{CP}^2$ y $S^2 \vee S^4$ no son homotópicamente equivalentes, aunque sus grupos de homología y cohomología son iguales. La razón es que el producto taza no es trivial en el primero, mientras que sí lo es en el segundo.
Por tanto, cuanta más estructura algebraica se pueda poner en un functor de espacios a conjuntos, más fino será este functor como herramienta para distinguir espacios. La cohomología tiene esta bonita estructura de anillo, pero de hecho tiene más: resulta que el anillo de cohomología (con $\mathbb{Z}/2$ -coeficientes) es un módulo sobre el Álgebra de Steenrod .
Por poner otro ejemplo del uso de los productos-vaso, existe un invariante llamado longitud de la copa que es el mayor $k$ tal que $\alpha_1\cup\ldots\cup \alpha_k\neq 0$ para algunos elementos de cohomología $\alpha_i$ de grado $\geq 1$ . La longitud de la copa da un límite inferior para la llamada Categoría Lusternik-Schnirelmann .
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