Halla una fórmula cerrada para la función generatriz dada la ecuación de recursión.

Question

Supongamos que tenemos la ecuación de recursión $b_{n+2}=5b_{n+1}-2b_n$ . donde $b_0=1, b_1 = 2$ . Intento encontrar una fórmula cerrada para la función generatriz. He intentado encontrar la ecuación característica y he obtenido $r^2-5r+2=0$ . Entonces podríamos encontrar $b_n = Ar_1^n+Br_2^n$ resolviendo $A$ y $B$ de $b_0$ y $b_1$ . El resultado final es $$b_n = \frac{\sqrt{17}-1}{2\sqrt{17}}\left(\frac{5+\sqrt{17}}{2}\right)^n+\frac{\sqrt{17}+1}{2\sqrt{17}}\left(\frac{5-\sqrt{17}}{2}\right)^n$$ Me pregunto si existe un enfoque diferente para resolver la función generadora utilizando la ecuación recursiva.

Answer 1

Sí, por supuesto. La función generadora tiene la forma $$f(r)=\frac{Ar+B}{r^2-5r+2}=\frac{C}{r-r_1}+\frac{D}{r-r_2},$$ pero $A,B$ no son sus constantes. Puedes expandirlo por la serie geométrica y con suerte obtendrás el mismo resultado.