En respuesta a una pregunta sobre MU sobre la función zeta de Riemann, esbocé una prueba de que la distribución de probabilidad sobre $\mathbb{N}$ que asigna $n$ la probabilidad
$$\frac{ \frac{1}{n^s} }{\zeta(s)}$$
(en adelante denominada distribución zeta con parámetro $s$ ) donde $s > 1$ es la única familia de distribuciones de probabilidad en $\mathbb{N}$ que cumplan los tres requisitos siguientes:
- El exponente de $p$ y el exponente de $q$ en la factorización en primos de $n$ se eligen independientemente para todos los pares de primos $p \neq q$ .
- El exponente de un primo concreto $p$ se distribuye geométricamente.
- Las probabilidades son monotónicamente decrecientes en función de $n$ .
La motivación básica del primer requisito es el Teorema Chino del Resto. Se me ocurren dos motivaciones para el segundo requisito: en primer lugar, que las distribuciones geométricas son las distribuciones máximamente entrópicas en $\mathbb{N}_{\ge 0}$ con una media dada, y segundo, que (si no me equivoco) se obtiene naturalmente una distribución geométrica de la medida de Haar sobre la $p$ -enteros radicales.
De hecho, la distribución que se obtiene de la medida de Haar en el $p$ -es aquella en la que a $p$ -es divisible exactamente por $p^k$ con probabilidad $(1 - p^{-1}) p^{-k}$ . Se trata esencialmente del $s \to 1$ de la distribución zeta anterior, que di como razón por la que uno podría deducir que este límite es importante a partir de los primeros principios.
Parece que debería ser posible combinar las motivaciones de los dos primeros requisitos en una afirmación sobre la medida de Haar en los enteros profinitos $\prod_p \mathbb{Z}_p$ excepto que no sé exactamente qué tipo de declaración estaría buscando, así que pensé en preguntar aquí.
Pregunta: Completa la siguiente afirmación. Es natural estudiar la $s \to 1$ límite de la distribución zeta porque (alguna afirmación sobre la medida de Haar en los enteros profinitos, tal vez con "tesis de Tate" en alguna parte).
