Subgrupo de $\mathbb{C}^*$ tal que $\mathbb{C}^*/H \cong \mathbb{R}^*$

Question

Defina $\mathbb{C}^* = \mathbb{C}\setminus \{0\}$ et $\mathbb{R}^* = \mathbb{R}\setminus \{0\}$

¿Existe un subgrupo $H$ de $\mathbb{C}^*$ tal que $\mathbb{C}^*/H$ isomorfo de $\mathbb{R^*}$ ?

Sabía que $\mathbb{C}^*/{U}\cong \mathbb{R}^+$ con $U = \{ z \in \mathbb{C}:|z| = 1\}$ pero ¿qué tal $\mathbb{R}^*$ ?

Muchas gracias.

Answer 1

Supongamos que existe un epimorfismo de grupo $\phi \colon \mathbb{C}^\times \to \mathbb{R}^\times$ . Entonces existe alguna $z \in \mathbb{C}^\times$ con $\phi(z) = -1$ . Si $w$ es una raíz de $z$ entonces $\phi(w)^2 = -1$ lo que no es posible.

Esto demuestra de forma más general que la imagen de todo homomorfismo de grupo $\mathbb{C}^\times \to \mathbb{R}^\times$ ya se encuentra en $\mathbb{R}_{>0}$ .