Ecuación de diferencia lineal de primer orden básica (no homogénea)

Question

Tengo esto como tarea y no estoy seguro de cómo empezar:

Resuelve la ecuación de diferencia lineal de primer orden $$(k+1)x_{n+1}+x_n=k$$ para alguna constante $k.$ [Pista: La solución general de ecuaciones de diferencia lineal no homogéneas también consta de una función complementaria y una solución particular.]

No estoy seguro de cómo empezar.

Necesito orientación en esto...

Answer 1

Dado que esta es una ecuación no homogénea, debemos restar dos ecuaciones sucesivas :

$$ (k+1)x_{n+1}+x_n = k\\ (k+1)x_{n+2}+x_{n+1} = k $$

Obtendremos una ecuación de diferencia lineal homogénea :

$$ (k+1)x_{n+2} - k x_{n+1} - x_n = 0 $$

Luego debes resolver la ecuación de segundo grado :

$$ (k+1)r^2 - k r - 1 = 0 $$

Las soluciones de esta ecuación son: $ r_1 = 1 $ y $ r_2 = -1/(k+1) $

Luego $$ x_n = A + B (\frac{-1}{k+1})^n $$ Lo que te dará la forma de la solución.

Para más lecturas sobre cómo resolver esto, consulta http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation

Answer 2

Sea $d$ tal que $(k+1)d+d=k$ o $d=\frac{k}{k+2}$. Entonces es fácil verificar $$ (k+1)(x_{n+1}-d)+(x_n-d)=0 $$ o $$ x_{n+1}-d=-\frac{1}{k+1}(x_n-d). $$ A partir de esto, es fácil obtener $$ x_{n}-d=(-\frac{1}{k+1})^n(x_0-d). $$