Complejo CW simplemente conectado homotópico a uno con 1 esqueleto trivial

Question

Proposición: si $X$ es un complejo CW simplemente conectado, es homotópicamente equivalente a un complejo $Y$ con trivial $1$ -esqueleto (es decir $Y^1 = Y^0 = \{*\}$ )

Esbozo de prueba: Tomemos un árbol maximal $T$ en el esqueleto 1 de $X$ y mostrar $X\sim X/T$ . Así que podemos suponer que el esqueleto 0 es trivial. Calcular el grupo fundamental de $X$ al notar que es el mismo que el grupo fundamental del 2-esqueleto, por aproximación celular. Van Kampen da entonces $$\pi_1(X^2) = \langle \text{ 1-cells } | \text{ boundaries of 2-cells }\rangle$$ . Así, cada 1-célula es una palabra en la frontera de las 2-células. En particular, adjuntando una célula con límite a la célula 1 dada $e$ da el complejo $X/e$ (contrato $e$ a través de la célula adjunta. Por otra parte, ser homotópico a una palabra de la frontera, es decir, nulo-homotópico, muestra que adjuntar esta célula debería ser equivalente a acuñar en una nueva 2-esfera, $$ X/e \sim X\vee \mathbb{S}^2 $$ Entonces matar a la nueva célula da $$X/e \cup \mathbb{D}^3 \sim X$$

Pregunta: Me gustaría ver esto más directamente. Quiero decir `mira el límite de cualquier celda de 2. Esto es nullhomotopic, por lo que el complejo es homotópico a uno en el que acabamos de wedged esta esfera en. Repítelo hasta que desaparezca cualquier unión interesante y concluye que no hay celdas 1 por simple conectividad". Desgraciadamente esto falla, el mapa de unión es nulo-homotópico en el 2-esqueleto, pero necesito que sea nulo-homotópico en el complejo sin las 2 células añadidas.

¿Alguien puede dar un argumento directo? También siéntase libre de criticar mi boceto si hay algo sospechoso ...

Answer 1

He aquí una idea ligeramente diferente (que podría ser casi la misma idea; estoy un poco inseguro acerca de su construcción).

Por lo que has escrito podemos empezar asumiendo que el $0$ -el esqueleto es de un solo vértice $v$ .

Cada $1$ célula $e$ es un bucle cerrado con ambos extremos en $v$ . Desde $X$ es simplemente conexo, existe un mapa continuo $h_e : D^2 \to X^{(2)}$ tal que la restricción $h_e : S^1 \to e$ es un homeomorfismo. Ahora adjuntamos una nueva 2-célula y 3-célula $D^2_e$ , $D^3_e$ como sigue. El mapa de unión de $D^2_e$ es un homeomorfismo hacia $e$ . Considere la posibilidad de adjuntar el mapa de $D^3_e$ que es un mapa continuo $S^2 \mapsto X^{(2)}$ la restricción de este mapa de fijación al hemisferio superior $H^+_e$ es un homeomorfismo sobre $D^2_e$ y la restricción al hemisferio inferior $H^-_e$ factores como un homeomorfismo $H^-_e \mapsto D^2$ seguido del mapa continuo $D^2 \xrightarrow{h_e} X^{(2)}$ .

Fijación de estas células $D^2_e$ y $D^3_e$ para cada $1$ -cel $e$ de $X$ el complejo resultante $\widehat X$ es claramente equivalente en homotopía a $X$ . De hecho hay una fuerte retracción de deformación $f : \widehat X \to X$ tal que la restricción $f \mid D^3_e$ es inducido por un mapa en el $3$ -que actúa como una fuerte restricción de deformación desde el 3-disco hasta su hemisferio límite. $H^-_e$ compuesto con $h_e : D^2 \to X^{(2)}$ .

Por último, tomemos el mapa cociente $\widehat X \to Y$ donde la unión de los discos $D^2_e$ se reduce a un único punto; este mapa cociente es una equivalencia homotópica. Todavía hay algo de trabajo para demostrar esto, pero es algo así como el trabajo que ya ha hecho para demostrar que el colapso de un árbol maximal en el 1-esqueleto original es una equivalencia homotópica.