Encuentre $\lim_{n\to\infty}\ln(n^{n}\cdot(n+1)^{-n-1})$

Question

Tengo que resolver este límite: $$\lim_{n\to\infty}\ln(n^{n}\cdot(n+1)^{-n-1})$$ Sé que la respuesta es $-\infty$ . Mi pregunta es si puedo hacer esto: $$\ln[\lim_{n\to\infty}n^{n}\cdot(n+1)^{-n-1}]$$ Si no es así, ¿cómo debo proceder?

Answer 1

El logaritmo natural es continuo en su dominio, así que puedes hacerlo, pero no te lo recomiendo. Otro enfoque es reescribir el logaritmo natural como $$\ln(n^n\cdot(n+1)^{-n-1})=n\ln(n)-(n+1)\ln(n+1).$$ Entonces el resultado se deduce del hecho de que el logaritmo natural aumenta estrictamente hasta el infinito.

Answer 2

Usted tiene $$ \ln(n^{n}\cdot(n+1)^{-n-1})=n\,\ln \frac n{n+1}-\ln(n+1)<-\ln(n+1). $$

En cuanto a tu pregunta, puedes "sacar" el registro si existe el límite, porque el registro es continuo.

Answer 3

Sí, eso funciona. El límite interior está en el borde del dominio para $\log$ sin embargo.

Answer 4

$$\lim_{n \to \infty}\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(1+\frac 1n)^n \cdot (n+1)} = 0$$

Ahora toma el logaritmo y utiliza el hecho de que el logaritmo natural es una función continua.