Levantamiento de homotopías relativas entre mapas $X\to Y/B$ cuando $B$ es contraíble

Question

Sea $(X,A)$ sea un par CW, $Y$ un complejo CW, y $f,g:X\to Y$ mapas homotópicos tales que $f_{|A}=g_{|A}$ . Aunque $f$ y $g$ son homotópicas, lo hacen no tienen que ser homotópicas relativas $A$ . (La teoría de la obstrucción nos dice cómo abordar esta cuestión).

Supongamos además que $B\subseteq Y$ es un contractible subcomplejo y que las composiciones $X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y\stackrel{pr}{\longrightarrow} Y/B$ y $X\stackrel{g}{\longrightarrow}Y\stackrel{pr}{\longrightarrow} Y/B$ son homotópicas relativas $A$ .

No he pensado mucho en esto, pero ¿no debería implicar ya que los mapas originales $f$ y $g$ son relativo homotópico $A$ ?

(Si esto es cierto, entonces probablemente podemos abandonar la suposición de $f$ y $g$ siendo (libremente) homotópicas).

Sebastián

Answer 1

Claro. El hecho de que $A$ es un subcomplejo de $X$ implica que los mapas de restricción $$Map(X,Y)\to Map(A,Y)$$ y $$Map(X,Y/B)\to Map(A,Y/B)$$ son fibraciones de Serre. El hecho de que $B$ es un subcomplejo de $Y$ y contractible implica que la proyección $Y\to Y/B$ es una equivalencia homotópica, lo que a su vez implica que los mapas resultantes $$Map(X,Y)\to Map(X,Y/B)$$ y $$Map(A,Y)\to Map(A,Y/B)$$ son equivalencias homotópicas y, en particular, equivalencias débiles. Se deduce que el mapa asociado de fibras $$Map(X,Y \ rel A)\to Map(X,Y/B\ rel A)$$ es también una equivalencia débil, en particular inyectiva en $\pi_0$ .

Answer 2

Este ejemplo es incorrecto (¡lo siento!):

Pruebe $(X,A) = (D^n, S^{n-1})$ , $Y = D^n$ , $f_A = \mathrm{in}_{S^{n-1}}$ y $B = Y$ . Entonces tenemos un montón de no equivalentes (rel. $A$ ) mapas $f, g: X\to Y$ y ellos todos se vuelven iguales en $Y/B = *$ .

Desde $D^n$ es convexo, dos mapas cualesquiera $X\to D^n$ son homotópicos por homotopías rectilíneas; y si los mapas coinciden en algún subconjunto de $X$ la homotopía será constante en ese subconjunto.

Answer 3

Muy bien, he aquí una idea para cuando $A$ es un esqueleto; digamos que $A=X^{n-1}\subseteq X$ es el $(n-1)$ -esqueleto. Por ahora supongamos que $X$ es $n$ -la afirmación para $X$ debe seguir por inducción.

Según tengo entendido, $f$ y $g$ son homotópicas relativas $A$ si y sólo si su diferencia cochain $d(f,g)\in C^n(X;\pi_n(Y))$ desaparece (cf. Mosher y Tangora, Teorema 4). Así pues, supongamos que $d(f,g)\neq 0$ es decir $f$ y $g$ son no relativo homotópico $A$ y proceder con todos los supuestos anteriores.

Desde $B$ se supone que es un subcomplejo contractible de $Y$ la proyección $pr:Y\to Y/B$ es una equivalencia homotópica e induce una isomorfismo $\pi_n(pr):\pi_n(Y)\to\pi_n(Y/B)$ . Además, también obtenemos un mapa inducido $p_\ast:C^n(X;\pi_n(Y))\to C^n(X;\pi_n(Y/B)),\ \phi\mapsto\pi_n(pr)\circ\phi$ que es inyectiva por la inyectividad de $\pi_n(pr)$ . Así $p_\ast(d(f,g))\neq 0$ donde por la functorialidad de $\pi_n(-)$ deberíamos tener $p_\ast(d(f,g))=d(pr\circ f,pr\circ g)\in C^n(X;\pi_n(Y/B))$ . Sin embargo, $d(pr\circ f,pr\circ g)=0$ desde $pr\circ f$ y $pr\circ g$ se suponen homotópicas relativas $A$ lo que contradice nuestra suposición de $f$ y $g$ no siendo homotópico relativo $A$ .