Reciprocidad de Frobenius

Question

Quisiera hacer una pregunta sobre el teorema 8.6 de la página 246 de este libro . Se afirma que

la multiplicidad de $F$ en $E^G$ es igual a la multiplicidad de $E$ en $F_H$ .

¿Por qué esto sólo es cierto para campos algebraicamente cerrados $k$ ?

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$F$ es un simple $k[G]$ módulo, $E$ un simple $k[H]$ módulo, $G$ un grupo y $H$ un subgrupo.

Answer 1

El problema es que la dimensión de un Hom (como en el Teorema 8.5, y la discusión al principio de la página 246) depende no sólo de la multiplicidad, sino también de la dimensión del campo de división. Los campos de división pueden cambiar de dimensión, especialmente cuando la acción de $G$ en $H$ induce un automorfismo de Galois.

Por ejemplo: Sea $G$ sea no abeliano de orden 6, $H$ normal de orden 2, $k$ los números racionales, y $E$ el módulo simple bidimensional de $H$ en $k$ . Entonces el módulo inducido $E^G$ es la suma directa de dos copias del módulo simple bidimensional $F$ de $G$ en $k$ .

$E^G = F \oplus F$ pero $F_H = E$ .

La multiplicidad de $F$ en $E^G$ es 2, pero la multiplicidad de $E$ en $F_H$ es 1.

Answer 2

Aquí hay una respuesta más detallada comparando multiplicidades sobre campos no algebraicamente cerrados como se pide en los comentarios. $\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}\newcommand{\Soc}{\operatorname{Soc}}\newcommand{\Head}{\operatorname{Head}}$

Una versión de la reciprocidad de Frobenius es bastante general y también se conoce como la teorema del functor adjunto .

Reciprocidad de Frobenius: Sea $R$ sea un anillo conmutativo con identidad, $H \leq G$ grupos con $[G:H]$ finito. Para cualquier $R[H]$ -módulo $E$ y cualquier $R[G]$ -módulo $F$ tenemos un $R$ -isomorfismo de módulo: $$\Hom_{RH}(E,F_H) = \Hom_{RH}(E,\Hom_{RG}(RG,F)) \cong \Hom_{RG}( E \otimes_{RH} RG,F ) = \Hom_{RG}(E^G, F)$$

Sin embargo, las aplicaciones más claras de esto requieren hipótesis significativamente más fuertes: queremos $E$ y $F$ sean módulos simples, por lo que WLOG $R=k$ es un campo (el núcleo del $R$ acción sobre $E$ y $F$ son ideales maximales; si son ideales diferentes entonces todos los Homs implicados son 0). Una vez que tenemos módulos simples las cosas son más agradables:

Contar con Hom : Si $X$ es un $R[H]$ -y $E$ es un simple $R[H]$ -entonces $$\Hom_{RH}(E,X) = \Hom_{RH}(E,\Soc_E(X)) = \Hom_{RH}(E,E^n) \cong \Hom_{RH}(E,E)^n = \Delta_E^n$$ y su dimensión es $e\cdot n$ donde $e=[\Delta_E:k]$ es la dimensión del anillo de endomorfismo, y $n$ es la multiplicidad de $E$ como factor de composición del zócalo del $R[H]$ -módulo $X$ . Del mismo modo, $$\Hom_{RG}(Y,F) = \Hom_{RG}(\Head_F(Y),F) = \Hom_{RG}(F^m,F) \cong \Hom_{RG}(F,F)^m = \Delta_F^m$$ y su dimensión es $f \cdot m$ donde $f=[\Delta_F:k]$ es la dimensión de su anillo de endomorfismo, y $m$ es la multiplicidad de $F$ como factor de composición de la cabeza del $R[G]$ -módulo $Y$ . Configuración $X=F_H$ y $Y=E^G$ Por lo tanto, tenemos $$fm = en$$ donde $e,f$ cuentan las dimensiones de los endomorfismos, y $m,n$ cuentan multiplicidades de factores de composición.

Si $k$ es un campo de división tanto para $H$ y $G$ puis $\Delta_E=\Delta_F=k$ y $e=f=1$ por lo que la reciprocidad de Frobenius iguala dos recuentos de factores de composición $m=n$ (uno abajo y otro arriba). Si la característica de $k$ no divide el orden de (el grupo ahora finito) $G$ entonces $E^G$ y $F_H$ son ambos semi-simples, por lo tanto iguales a su zócalo y cabezas. En este caso, obtenemos una interpretación muy simple de la dimensión como el recuento de un módulo dentro de otro. Es la reciprocidad clásica de Frobenius.

Fallo de recuento: Si suponemos $G$ es finita y la característica de $k$ no divide el orden de $G$ entonces podemos hacer que ocurran algunas cosas ligeramente impar con $e$ y $f$ . En particular, es muy posible que $f=1$ mientras que $e>1$ . Por ejemplo, $G=S_3$ , $k=\mathbb{Q}$ , $F=k^2$ el módulo natural, y $H=A_3$ . Entonces $E=F_H$ sigue siendo irreducible sobre $\mathbb{Q}$ pero se divide en $\Delta_E=\mathbb{Q}[\zeta_3]$ . Aquí tenemos $e=2$ y $f=1$ desordenando los recuentos para que $m>n$ ( $m=2$ y $n=1$ ).

¿Tenemos al menos una desigualdad? ¿Y en la otra dirección? ¿Conocemos $n \leq m$ o, lo que es lo mismo, que $f \leq e$ ? Desgraciadamente, no. Toma $G=A_3$ , $H=1$ , $k=\mathbb{Q}$ y $F$ sea el módulo simple no dividido para $k[G]$ . Entonces $F_H = E^2$ donde $E=k$ es el único $k[H]$ -(que resulta ser absolutamente sencillo). $E^G = F \oplus k$ para $k$ siendo el trivial $k[G]$ -módulo. Por lo tanto $e=1$ , $f=2$ y $n=2$ y $m=1$ .