Mapa del círculo a la línea real

Question

Se me pide que demuestre que, para cualquier continuo $\phi:\;S^1\to\mathbb{R}$ donde $S^1=\{ \|\mathbf{x}\|=1,\;\mathbf{x}\in\mathbb{R}^2\}$ existe $\mathbf{z}\neq 0$ tal que: $$\phi(\mathbf{z})=\phi(-\mathbf{z})$$ Se sugiere que utilice la conectividad.

Sé que ambos conjuntos están conectados, y que un mapa continuo preserva la conectividad, pero no puedo ver cómo esto ayuda. Pensé en considerar los arcos de $\mathbf{z}$ à $-\mathbf{z}$ pero de nuevo no veo cómo argumentar que debe haber un arco tal que la imagen de sus puntos extremos se colapsen en un único punto en $\mathbb{R}$ .

¿Ayuda?

Answer 1

¿Puedes utilizar la continuidad y el Teorema del Valor Intermedio para un dominio Conectado para demostrar que la función $$ \phi(z)-\phi(-z)=0$$ para algunos $z$ ? Si es así, ya está.

Answer 2

Dado que se sugiere que la conectividad se utilice explícitamente, podría formularlo así: La imagen del dominio conexo de la función $\mathbf z \mapsto \phi(\mathbf z) - \phi(-\mathbf z)$ debe ser un subconjunto conexo de $\mathbb R$ . Si no está en todas partes $0$ entonces para cualquier punto $\mathbf z_0$ donde no es $0$ la función cambia de signo como $\mathbf z$ va de $\mathbf z_0$ à $-\mathbf z_0$ . Así, la imagen incluye tanto números positivos como negativos. Todos los subconjuntos conexos de $\mathbb R$ que contienen tanto números positivos como negativos contienen $0$ .