Demostraré que si $M$ es una variedad de dimensión $m$ en $\mathbb R^m$ puis $M$ es un conjunto abierto de $\mathbb R^m$ . La otra parte, que todos los subconjuntos abiertos de $\mathbb R^m$ es múltiple es trivial.
Toma $x\in M$ y vamos a demostrar que $x$ es un punto interior de $M$ . Hay un barrio abierto $U$ de $x$ en $M$ y un difeomorfismo $\phi:U \to V$ donde $V$ es un conjunto abierto de $\mathbb R^m$ . Para ser más precisos, $\phi$ es un difeomorfismo en el sentido del libro de Milnor, es decir, hay un subconjunto abierto $U'$ de $\mathbb R^m$ tal que $U = U'\cap M$ y un difeomorfismo (en el sentido habitual) $\Phi: U' \to V$ tal que $\Phi|_U = \phi$ .
Aviso $\psi = \phi^{-1}$ es un mapa suave de $V$ à $\mathbb R^m$ y $d\psi$ es invertible en todos los puntos de $V$ . Por el teorema de la función inversa existe una vecindad $W$ de $y=\phi(x)$ tal que $\phi(W)$ está abierto el $\mathbb R^m$ , $W\subset V$ y $\psi:W \to \psi(W)$ es un difeomorfismo. Dado que $\psi(W)$ es una vecindad abierta de $x$ y $\psi(W)\subset U \subset M$ concluimos que $x$ es punto interior de $M$ . Por lo tanto $M$ está abierto el $\mathbb R^m$ .
