Mejor predictor de MA(1)

Question

He leído en una nota de clase que para un modelo MA(1) $X_t = \theta \epsilon_{t-1} + \epsilon_t$ con $|\theta| < 1$ donde $\epsilon_t$ son variantes de ruido blanco:

Sólo podemos hacer previsiones un paso por delante, ya que $X_{t+2}$ es independiente de las observaciones hasta el momento $t$ . Por lo tanto, el mejor predictor de $X_{t+2}$ es cero.

Dudo de la pretensión de independencia. ¿Es sólo que $X_{t+2}$ no está correlacionado con otros $X_t$ ? ¿Y no debería ser también el mejor predictor lineal?

Answer 1

En un $\text{MA}(1)$ modelo de esa forma tenemos auto-covarianza dada por:

$$\gamma(k) \equiv \mathbb{Cov}(X_t, X_{t+k}) = \mathbb{E}(X_t X_{t+k}) = \begin{cases} (1+\theta^2) \sigma^2 & & \text{for } |k|=0, \\[6pt] \theta \sigma^2 & & \text{for } |k|=1, \\[6pt] 0 & & \text{for } |k|>1. \\[6pt] \end{cases}$$

Así se obtiene la función de autocorrelación:

$$\rho(k) \equiv \mathbb{Corr}(X_t, X_{t+k}) = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} = \begin{cases} 1 & & \text{for } |k|=0, \\[6pt] \frac{\theta}{1+\theta^2} & & \text{for } |k|=1, \\[6pt] 0 & & \text{for } |k|>1. \\[6pt] \end{cases}$$

No ha especificado una distribución de error para su proceso, pero si utiliza la distribución normal para su término de error, entonces los valores observables en el proceso son conjuntamente normales y, por tanto, los valores no correlacionados son efectivamente independientes. En ese caso, es correcto afirmar que $X_t \text{ } \bot \text{ } X_{t+k}$ para $k>1$ . En este caso, el mejor predictor de $X_{t+2}$ datos hasta $t$ es cero. (Por cierto, nada en estos resultados requiere $|\theta| < 1$ los resultados son los mismos aunque no se cumpla esta restricción).