La sumisión directa de un módulo libre

Question

Deje que $M$ , $L$ , $N$ ser $A$ -módulos y $M=N \oplus L$ . Si $M$ y $N$ son libres, es $L$ necesariamente libre?

Answer 1

No, por ejemplo el haz vectorial tangente de la esfera $S^2$ no es trivial, mientras que el paquete vectorial normal sí lo es. Más concretamente, $A= \mathbb {R}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2-1)$ , $L=\{(P_1,P_2,P_3)\ |\ xP_1+yP_2+zP_3=0\}$ , $N=A \cdot (x,y,z)$ , $M=A^3$ .

Answer 2

Deje que $M$ ser un módulo sobre un anillo conmutativo. Recuerda tres propiedades:

$M$ es proyectivo si es una orden directa de un módulo libre.
$M$ es débilmente establemente libre si existe un módulo libre $F$ de tal manera que $M \oplus F$ es libre.
$M$ es establemente libre si existe un módulo libre generado finamente $F$ de tal manera que $M \oplus F$ es libre.

Entonces libre implica establemente libre implica débilmente estable libre implica proyectivo.

Pero en realidad proyectivo implica débilmente establemente libre: esto se llama la Estafa de Eilenberg . Por lo tanto, si no requiere $F$ para ser generado finamente, entonces cualquier módulo proyectivo no libre da una respuesta negativa a esta pregunta. Hay ejemplos "baratos" de esto: por ejemplo, dejar que $R_1$ y $R_2$ sean dos anillos que no sean cero, que $R = R_1 \times R_2$ y considerar $R_1$ como un $R$ -es proyectivo pero no libre.

¿Qué hay de los módulos estables que no son libres? Aquí los contraejemplos son mucho más profundos. Plop ha descrito lo que de hecho es el contraejemplo más estándar, que reduce el problema a un hecho no trivial en la topología diferencial. Una discusión algo más exhaustiva de esta clase de ejemplos puede encontrarse en $ \S 6.4.3$ de mis notas de álgebra conmutativa . Además, al final de $ \S 3.5$ Doy la Estafa de Eilenberg como un ejercicio, con una gran insinuación.

Añadido : Según recuerdo, la terminología "débilmente establemente libre" no es estándar, sino algo que inventé mientras escribía mis notas. Pero el punto, por supuesto, es que después de esta pequeña discusión sobre la Estafa de Eilenberg, uno ve que tal terminología no es necesaria.