Motivación de los diagramas de formas y raíces asesinas

Question

Estoy estudiando por mi cuenta las álgebras de Lie y me encontré con la definición de la forma de matar. Según tengo entendido, la forma de Killing proporciona un producto interno con el que se pueden visualizar las raíces de una álgebra de Lie. Tengo dos preguntas:

1. La definición de la Forma de Matar parece muy aleatoria. ¿Hay alguna razón natural por la que alguien elegiría este producto interior particular con el que visualizar las raíces fundamentales? ¿Realmente no hay un producto interno más sencillo que elegir?

2. ¿Qué conocimientos más profundos le proporciona el sistema de raíces sobre el Álgebra de Mentira? Como ejemplo, he adjuntado una captura de pantalla de un sistema raíz de muestra a continuación. Mi problema es que tiene tantas capas de abstracción (cada punto es un "valor propio de la acción de la subálgebra de Cartan bajo el mapa adjunto" -- ¡caramba, hasta decir eso me da vueltas la cabeza! qué el diagrama está diciendo moralmente.

Para resumir, donde estoy ahora mismo es esto: "los valores propios del mapa adjunto forman una bonita imagen si los ordenamos según este producto interior aparentemente aleatorio (la forma de Killing)". Pero, ¿por qué son significativos los valores propios del mapa adjunto, y por qué es significativa su disposición en el diagrama de abajo? Tengo la sensación de que me estoy perdiendo la visión de conjunto. Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

Permítame intentar explicar su primer punto, sobre el origen y la importancia de la forma de Matar. Si tengo un descanso en mi trabajo puedo intentar entrar en el segundo punto, o alguien más experto en álgebras de Lie que yo puede hacerlo primero.

Si $\mathfrak g$ es un álgebra de Lie simple, entonces existe una única forma bilineal no degenerada en la representación adjunta de $\mathfrak g$ . Este es un hecho general acerca de los módulos simples, y simplemente viene del hecho de que la representación adjunta es auto-dual, por lo que hay un mapa único $V\otimes V\to k$ . (He elegido $V$ y $k$ aquí porque se trata de una afirmación general sobre módulos simples autoduales sobre algún objeto y un campo $k$ ya sean álgebras de Lie, grupos algebraicos, etc.)

Resulta que el mapa es simétrico (es decir, proviene de un mapa del cuadrado simétrico del adjunto, en lugar del cuadrado exterior). Así que la razón de la definición en un sentido es que la forma de Killing es única, y eso es todo.

Si damos un paso atrás y nos fijamos en la teoría de las dimensiones finitas $k$ -entonces nos encontramos (hoy en día, ciertamente no en 1910) con la idea de un álgebra simétrica. Se trata de una $k$ -con una forma bilineal simétrica que satsifica $(ab,c)=(a,bc)$ . La forma de Killing también satisface esta relación. Así pues, la forma de Killing intenta convertir el álgebra de Lie en un álgebra simétrica. Ahora bien, normalmente las álgebras simétricas son asociativas, pero no nos preocuparemos por esto.

¿Qué aspecto tienen las formas bilineales simétricas? Se suelen llamar formas de traza simetrizantes, y empezamos a ver las primeras conexiones con la definición de una forma de Killing. Resulta que ésta es la manera habitual de definir las formas de traza simetrizantes, provienen de los mapas de traza. De hecho, la forma simetrizante en un álgebra matricial es simplemente el mapa de trazas.

Así pues, la forma Killing no sólo es la única manera de definirlo, sino que es la forma estándar de definir un mapa de este tipo.