Un poliedro de dimensión completa tiene al menos $n+1$ vértices

Question

Estoy atascado en una propiedad cuando estaba leyendo la demostración de un teorema sobre la teoría poliédrica:

Todo poliedro de dimensión completa, acotado y no vacío en $\mathbb R^n$ tiene al menos $n+1$ vértices.

Un vértice es un punto de un poliedro tal que no podemos escribirlo como $\lambda x+(1-\lambda)y$ tal que $\lambda \in (0,1)$ .

¿Puede alguien darme una pista para probar esta propiedad? Creo que debo considerar el hecho de que este poliedro es convexo casco sus vértices y con la inducción debo demostrar que convexo casco de cada $k$ elementos es como máximo a $k-1$ espacio dimensional. Pero no tiene sentido para mí también estas propiedades. ¿Podría usted ayudarme por favor a entender este hecho verdad?

Answer 1

Como ya sabes que un poliedro es el casco convexo de sus vértices, la prueba puede proceder así. Supongamos que el conjunto de vértices es $v_1, \dots, v_m$ avec $m\le n$ . Los vectores $v_1-v_m,\dots, v_{m-1}-v_m$ abarcan un subespacio lineal $W\subset \mathbb{R}^n$ de dimensión como máximo $m-1$ . Por lo tanto, los puntos $v_1, \dots, v_m$ se encuentran en el subespacio afín $W+v_m$ de dimensión como máximo $m-1 < n$ . Desde $W+v_m$ es un conjunto convexo, el casco convexo de $v_1, \dots, v_m$ se encuentra en $W+v_m$ y, por tanto, tiene el interior vacío.