En este post, vamos a $I=[0,1]$ .
Hay algo en la definición de homotopía en topología algebraica (y en particular en el estudio del grupo fundamental) que siempre me ha desconcertado. La mayoría de los libros sobre el grupo fundamental suelen comenzar con la noción básica de homotopía de curvas (o, más en general, de funciones continuas entre espacios topológicos) y la describen intuitivamente como "una deformación continua de una curva en otra". A menudo complementan esta afirmación con alguna imagen bonita, como celui-ci en Wikipedia. Cuando me enseñaron topología algebraica, yo también había oído una explicación motivadora como la anterior y me mostraron una imagen de este tipo. A partir de ahí ya podía adivinar cuál sería una definición formal (supuestamente) natural. Esperaba que fuera algo parecido a esto:
Sea $X$ sea una topológica $f,g : I \to X$ sean dos curvas en $X$ . Entonces existe una homotopía entre $f$ y $g$ es una familia de curvas $h_t: I \to X$ indexado por $t \in I$ (el parámetro ) tal que $h_0 = f$ , $h_1 = > g$ y la función $t \mapsto f_t$ es continua desde $I$ a $C(I,X)$ ( espacio de curvas en $X$ w $I$ equipado con algunos topología).
Sin embargo, la definición dada (que se utiliza en todos los libros de topología algebraica que he probado) es similar, pero no es exactamente lo que yo pensaba. Se define como una función continua $H: I \times I \to X$ tal que $H(s,0)=f(s)$ y $H(s,1)=g(s)$ para todos $s \in I$ .
Esto me ha sorprendido bastante, por varias razones. En primer lugar, la definición intuitiva de una homotopía como "deformación continua" no menciona los puntos del espacio $X$ - da la sensación de que lo que importa son las trayectorias, no los puntos del espacio subyacente (aunque obviamente se necesita el espacio en cuestión para definir el espacio de trayectorias $C(I,X)$ ). Sin embargo, la definición anterior, aunque formalmente casi equivalente a la definición en la que yo pensaba (hasta una definición de una topología "buena" sobre $C(I,X)$ ), hace que el espacio subyacente $X$ bastante explícito, que aparece explícitamente en el rango de la homotopía.
Además, muchas de las propiedades relacionadas con las homotopías, el grupo fundamental y los espacios de cobertura pueden expresarse utilizando el vocabulario de la teoría de categorías, mediante propiedades universales. Ahora bien, desde el punto de vista de la teoría categorial, ¿no sería deseable suprimir al máximo el papel del espacio subyacente (en favor de sus mapas y morfismos)?
Además, la definición de homotopía (tal como se utiliza) me parece inconveniente desde el punto de vista nocional, en el sentido de que no está tan claro cuál de las dos variables es el parámetro temporal (cada matemático tiene su propia preferencia, al parecer). Además, la definición de muchas homotopías específicas parece innecesariamente complicada en esta notación, en mi opinión. Por ejemplo, si $f,g$ son dos curvas en $\mathbb{R}^n$ entonces son homotópicas, y se puede escribir la homotopía obvia como $H(s,t)=tf(s)+(1-t)g(s)$ o como $h_t = tf+(1-t)g$ . Quizá sea sólo cosa mía, pero la segunda notación parece mucho más natural y fácil de entender que la primera. Las fórmulas de este tipo aparecen con frecuencia en el estudio del grupo fundamental de diversos espacios (y en la comprobación de que el grupo fundamental es realmente un grupo), y utilizando la notación $H(s,t)$ notación hace que estas fórmulas sean mucho más engorrosas, en mi opinión.
En resumen, tengo dos preguntas:
1) Para un espacio topológico $X$ , $C(I,X)$ b que "mi" definición de homotopía (véase más arriba) y la definición habitual coinciden (por estableciendo $h_t (x) = H(x,t)$ )?
2) En caso afirmativo, ¿por qué no existe tal preferida? Véanse mis argumentos más arriba.
