Historia de los resultados de Irracionalidad

Question

Los griegos sabían que los números de la forma $\sqrt{n}$ para no cuadrados enteros $n$ no son racionales. Mucho más tarde, Lambert (1768) demostró que los valores de $e^x$ y $\tan x$ son irracionales para números racionales distintos de cero $x$ (y conjeturó que estos valores son trascendentales, por lo que no se pueden construir con regla y compás). Mi pregunta es: ¿qué ocurrió entre medias?

Esto es lo poco que he encontrado:

• Fibonacci (Flos) demostró que la raíz real de $x^3 + 2x^2 + 10x = 20$ no es ni racional, ni la raíz cuadrada de un racional, ni igual a uno de los otros irracionales
  números que aparecen en Euclides X.

• M. Stifel (Arithmetica integra, 1544) al menos afirmó que, por ejemplo, las raíces cúbicas de números enteros no cúbicos no son racionales. no son racionales.

• Fermat afirmó tener una prueba de que si $a$ y $b$ son números racionales positivos tales que que $a^2 + b^2 = 2(a+b)x + x^2$ entonces tampoco $x$ ni $x^2$ son racionales.

Aparte de las afirmaciones ocasionales de que Euler demostró la irracionalidad de $e$ no parece haber resultados en este sentido entre Euclides y Lambert.

¿Existen pruebas de irracionalidad que vayan más allá de las raíces cuadradas de los números enteros y que se conozcan antes que Euler y Lambert?

Editar Siguiendo la sugerencia de Michael Hardy, no he encontrado nada anterior a Euler. Por otra parte, Euler, en su Introductio in analysin infinitorum, afirma que los logaritmos $\log_a b$ no son "ni racionales ni irracionales" para los números enteros $a, b > 1$ . No demuestra que los logaritmos son irracionales (probablemente porque lo consideraba trivial), y afirma que no son irracionales (lo que significa que no es la raíz cuadrada de un racional no cuadrado) ya que de lo contrario tendríamos $a^{\sqrt{m}} = b$ que es imposible" (de nuevo, sin prueba, pero esta vez no es en absoluto evidente, sino un caso muy especial de Gelfond-Schneider).

Answer 1

No sé cuándo cosas como $\log_2 3$ se demostraron primero irracionales, pero la prueba es más sencilla que las pruebas que implican raíces cuadradas de números enteros: Si $2^n = 3^m$ entonces un número par es igual a un número impar.

Answer 2

Uno de los pitogóricos, probablemente Hippasos de Metaponto, demostró la irracionalidad de $\sqrt 2$ alrededor del 500 a.C. Según Platón, Teodoro de Cirene sabía que las raíces cuadradas de todos los números enteros hasta 17 son enteros o irracionales, y Tearteto lo demostró para todos los números enteros. Gran parte de lo que Euclides escribe sobre magnitudes inconmensurables, distinguiendo distintos tipos de irracionalidades, procede de estos eruditos y de Eudoxo de Knidos, que también inventó la teoría del agotamiento. (Nótese que la concepción de Euclides sobre los números irracionales no es la misma que la actual, pero esto nos desviaría demasiado de la respuesta a esta pregunta). Apolonio de Perga extendió esta teoría, como se puede obtener de una traducción árabe de un comentario de Pappus sobre el libro X de Euclides. No se conocen detalles, sin embargo.

El matemático indio Bhāskarāchārya, contemporáneo de Fibonacci, calculó raíces cuadradas de sumas de números racionales e irracionales y, al igual que Fibonacci, trató ecuaciones polinómicas de grado superior al segundo. También en el siglo XIII Johannes de Sacrobosco (Johannes Campanus) demostró la irracionalidad de la proporción áurea (este resultado había sido conocido por los antiguos griegos pero se perdió con el paso de los tiempos) por el método de descente infinie.

Simon Stevin, el inventor del sistema decimal, sabe que hay dos casos que no permiten una representación decimal exacta, las fracciones como 5/6 y los irracionales. Marin Mersenne, en una crítica de un artículo de Alfons Anton de Sarasa, menciona la dificultad de obtener por medios geométricos el logaritmo de una determinada cantidad, si se dan otros dos logaritmos, sean racionales o irracionales . La correspondencia entre Leibniz y Newton abunda en irracionalidades y en el elogio del método propio para manejarlas mejor. Pero las pruebas de irracionalidades no están contenidas. Puede ser que ya se dispusiera de suficientes números irracionales, o que la prueba de irracionalidad en el caso de los logaritmos sea tan fácil (Euler la menciona de pasada).

El algebrista francés de Lagny demostró que cierto tipo de ecuaciones polinómicas tienen raíces irracionales (Histoire de l'Académie de Sciences, 1705, p. 294).

Es controvertido si Euler ha demostrado implícitamente la irracionalidad de $e$ y $\pi$ mediante fracciones continuas. En cualquier caso, su introductio in analysin infinitorum está llena de irracionalidades. Vol. 1, contiene, en el capítulo 6, la afirmación de que con excepción de las potencias de la base, el logaritmo de un número $h$ no es racional (y no puede ser irracional, por lo tanto debe ser trascendental). En el § 508 del vol. 2, lo explica: Las ecuaciones algebraicas o bien son racionales y no contienen exponentes que no sean enteros, o bien son irracionales con exponentes partidos. Pero en este último caso, pueden hacerse racionales. Si una ecuación de una gráfica no es racional ni puede hacerse racional, es trascendental. Si una ecuación contiene potencias cuyos exponentes no son enteros ni fraccionarios, no puede hacerse racional. Las gráficas de estas ecuaciones son las primeras y, por así decirlo, las más sencillas de las gráficas trascendentales, es decir, las que resultan de ecuaciones con exponentes irracionales. El § 509 comienza con el ejemplo $y = x^{\sqrt 2}$ .

Y entonces llegó Lambert.

Etimología

En Primeros usos conocidos de algunas palabras matemáticas w Cajori (1919, página 68) escribe: "Es digno de mención que Casiodorio fue el primer escritor que utilizó los términos "racional" e "irracional" en el sentido actual en aritmética y álgebra." La primera cita de racional en el OED2 es de John Wallis en 1685. Irrational es utilizado en inglés por Robert Recorde en 1551 en El camino hacia el conocimiento : "Numbres y quantites surde o irrationall".

M. Cantor en su Conferencias sobre la historia de las matemáticas En su libro "La irracionalidad en las matemáticas", vol. 2, atribuye al italiano (residente en España) Gerardo de Cremona (c. 1114-1187), al matemático y obispo inglés Thomas Bradwardine (c. 1290-1349), al matemático y obispo francés Nicole d'Oresme (c. 1320-1382) y al matemático y obispo alemán Alberto de Sajonia (c. 1320-1390) el uso temprano de la palabra "irracional" en el contexto matemático. 1320 - 1382), y el matemático y obispo alemán Alberto de Sajonia (c. 1320 - 1390) con el uso temprano de la palabra "irracional" en contexto matemático, argumentando lo rápido que se extendió esta noción en el mundo de las matemáticas en el siglo XIV. No obstante, Vieta, Fermat, Newton y otros utilizaron la palabra "asymetriae" o "quantitates surdae".