Relación entre (el $2 \pi$ en) Gauss-Bonnet y en la fórmula de diferenciación de Cauchy

Question

Cuando vi por primera vez Gauss-Bonnet, me preguntaba si este $2 \pi$ tenía alguna relación con el $2 \pi$ en Fórmula de diferenciación de Cauchy . Quizá sea mejor preguntar por la relación entre Gauss-Bonnet y la fórmula de diferenciación de Cauchy. Recuerdo la $2 \pi$ ( o $\tau$ ) en la fórmula de diferenciación de Cauchy tiene que ver con la homotopía con un círculo en la fórmula integral original de Cauchy. Supongo que Gauss-Bonnet tendrá algo que ver con círculos o esferas. Hasta ahora sólo conozco alguna versión básica de Gauss-Bonnet y aún no sus generalizaciones.

Ok así que no exactamente cualquier pregunta todavía ummm...

1. ¿Dónde está el $2 \pi$ de Gauss-Bonnet? ¿Tiene algo que ver con círculos o esferas (O $S^n$ )?

2. ¿Es el $2 \pi$ en Gauss-Bonnet relacionado con el $2 \pi$ en la fórmula de diferenciación de Cauchy?

3. ¿Cuál es la relación de Gauss-Bonnet con la fórmula de diferenciación de Cauchy?

Answer 1

En cierto sentido, la respuesta es sí, existe una relación, pasando por Teorema de Riemann-Roch (dos corolarios de la misma, en realidad). De hecho, se puede demostrar Gauss-Bonnet (al menos para las superficies de Riemann $^1$ ) con Cauchy y RR.

Pruebas: En una superficie riemanniana siempre podemos encontrar coordenadas locales, en las que el tensor métrico es conforme y la curvatura gaussiana toma la forma particularmente fácil

$$\mathbf{g}=\frac12\lambda^2(z,\overline{z}) (dz\otimes d\overline{z}+d\overline{z}\otimes dz)=\lambda^2(dx\otimes dx+dy\otimes dy)\\ K=-\frac1{\lambda^2}\Delta\log(\lambda)$$

Por partición de la unidad, podemos unirlos a una construcción global. La forma de volumen $dS$ adopta la forma $dS=\lambda^2 dx\wedge dy$ por lo que obtenemos

$$KdS=-\Delta \log(\lambda)dx\wedge dy$$

Utilizando Operadores de Dolbeaut podemos escribirlo como $$KdS=2id(\partial \log(\lambda))$$ Ahora, dada una diferencial meromorfa $1-$ formulario $\omega$ (que existe gracias a RR), se puede demostrar que, escribiendo localmente $\omega=fdz$ la expresión $$\varphi=\frac{\lambda}{|f|}$$ define una función meromorfa. Dado que en particular $\ln(|f|)$ es armónico, podemos escribir $$KdS=2id(\partial\log(\varphi))$$

Pasemos ahora al teorema de Gauss-Bonnet: escribiendo $X_\varepsilon$ como la superficie de riemann menos pequeños "discos" $D_{k,\varepsilon}$ alrededor de las singularidades $z_k$ de $\varphi$ tenemos

$$\int_X KdS=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{X_\varepsilon}2id(\partial \log(\varphi))=\lim_{\varepsilon\to 0} 2i\int_{\partial X_\varepsilon}\partial \log(\varphi)=\lim_{\varepsilon\to 0}\sum _k\int_{\partial D_{k,\varepsilon}}\partial \log(\varphi) $$

Ahora, cerca de las singularidades de $\varphi$ es decir, los polos o ceros de $f$ podemos escribir $\varphi$ como $\frac{\psi}{|z|^m}$ . Así, por la fórmula integral de Cauchy $$\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\partial D_{k,\varepsilon}}\partial \log(\varphi)=\lim_{\varepsilon\to 0}-m_k\int_{\partial D_{k,\varepsilon}}\partial \log(|z|)=\lim_{\varepsilon\to 0}-\frac {m_k}{2}\int_{\partial D_{k,\varepsilon}}\frac{dz}{z}=-\pi im_k$$

Dado que, por RR, el grado del divisor canónico es $2g-2$ y $\sum m_k=-\text{deg}(\omega)$ Así, obtenemos

$$\int_X KdS=-2\pi \text{deg}(\omega)=2\pi (2-2g)=2\pi \chi(X)$$

$^1:$ En realidad se puede demostrar, aunque es mucho más difícil, que toda superficie orientable admite un sistema de coordenadas local de este tipo, llamado coordenadas isotérmicas . Las pruebas habituales se basan en la solución de la Ecuación de Beltrami

Answer 2

El teorema de Gauss-Bonnet puede verse como un caso continuo límite de un teorema más sencillo, que tiene que ver con las superficies formadas por polígonos pegados entre sí. A cada punto $p$ sobre dicha superficie, podemos medir el ángulo $\theta(p)$ "visible" alrededor de $p$ . Si $p$ se encuentra en una cara o en una arista, tenemos $\theta(p) = 2\pi$ pero en las esquinas las cosas son diferentes: si $p$ se encuentra en la esquina de un cubo, entonces $\theta(p) = 3 \pi / 2$ por ejemplo, mientras que un punto situado en la esquina de un tetraedro tendría los ángulos visibles sumando $\theta(p) = \pi$ . También podríamos imaginar pegar "demasiados" polígonos a lo largo de sus aristas, para obtener un punto con $\theta(p) > 2 \pi$ .

Definir el déficit de ángulo en un punto que se $\delta(p) = 2\pi - \theta(p)$ Así que $\delta(p) = 0$ para todo excepto los puntos de esquina, donde mide la "desviación" de ser plano. Entonces tenemos un análogo discreto del teorema de Gauss-Bonnet: para cualquier superficie poligonal $S$ , $$ \sum_{p \in S} \delta(p) = 2 \pi \chi(S),$$ donde $\chi(S)$ es la característica de Euler de $S$ . Podemos comprobarlo rápidamente para el tetraedro, por ejemplo: $\delta(p) = \pi$ en los cuatro puntos de esquina, por lo que tenemos $\sum_{p \in S} \delta(p) = 4 \pi$ . Por otra parte, la característica de Euler de un tetraedro es $2$ ya que es homeomorfa a una esfera. Por supuesto, lo maravilloso es que, independientemente de cómo se ensamblen los polígonos para formar una superficie (orientable), la suma de las diferencias angulares sólo depende de la topología subyacente. Puedes leer más sobre esto en el maravilloso libro Mayoritariamente Superficies por Richard Evan Schwartz.

La versión de geometría diferencial de Gauss-Bonnet es una especie de versión límite de lo anterior: la curvatura gaussiana $K$ es la versión infinitesimal del defecto angular, y tenemos $$ \int_{S} K \, dA = 2 \pi \chi(S).$$ La interpretación de la $2 \pi$ que aquí sea un ángulo también tiene sentido desde el análisis dimensional: el área tiene unidades de $[\mathrm{length}]^2$ mientras que la curvatura gaussiana tiene unidades de $[\mathrm{length}]^{-2}$ por lo que la integral de una sobre la otra debe ser adimensional. (Una buena regla general es suponer siempre que a $2 \pi$ que aparece en una cantidad adimensional es un ángulo).

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En cuanto a la fórmula integral de Cauchy, creo que el espíritu de la pregunta es el siguiente: ¿por qué es cierto que $\oint_C \frac{dz}{z} = 2 \pi i$ para cualquier curva cerrada $C$ rodeando el origen en el sentido contrario a las agujas del reloj, y dónde está el $2 \pi$ ¿De dónde viene? De nuevo el $2 \pi$ que aparece es un ángulo, y la cantidad que se cuenta se llama número de bobinado : si $C$ si rodeáramos el origen dos veces, obtendríamos $4 \pi i$ . Imagina que te sitúas en el origen y observas la curva $C$ cuando se cierra sobre sí misma, es posible que haya dado la vuelta a una red $n$ veces, y el resultado de la integral será $2 \pi n i$ .

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Yo mismo no puedo establecer una conexión directa entre ellos más allá de esto: El $2 \pi$ En cada uno de ellos aparece un ángulo, y ambos son teoremas que relacionan cosas complicadas (geometría diferencial o integración de contornos) con cosas topológicas más sencillas (característica de Euler o número sinuoso).