Estructura algebraica de homotopía superior en la homología de una operada

Question

Dada una DGA $A$ entonces, mediante técnicas estándar como la teoría de perturbación homológica, la estructura de anillo en la homología $H(A)$ se extiende a un mínimo $A_\infty$ -tal que $H(A)$ es cuasi isomorfo a $A$ y, además, esta estructura de la homología es única hasta el isomorfismo. La dirección $A_\infty$ La estructura del álgebra se describe explícitamente, como es habitual, mediante la colección de multiplicaciones superiores $m_n: H(A)^{\otimes n} \to H(A)$ (que están estrechamente relacionados con los productos Massey).

Una operada en la categoría de complejos encadenados puede considerarse como una generalización de una DGA - ahora tenemos una secuencia de complejos $P(n)$ y el $\circ_i$ son productos asociativos entre ellas. La homología $H(P(n))$ es de nuevo una operada en complejos encadenados (con diferencial cero), y el hecho anterior para DGAs debería generalizarse para decir que $H(P)$ lleva la estructura adicional de una operada fuertemente homotópica para la que es cuasi-isomorfa a $P$ . ¿Se ha descrito explícitamente esta estructura en términos de mayor $n$ -análogos del $\circ_i$ ¿Composiciones? Estaría muy agradecido si alguien pudiera indicarme una referencia adecuada.

Answer 1

Tienes toda la razón Jeffrey. Puesto que una operada es (estrictamente hablando) una generalización de la noción de álgebra asociativa, existe una transferencia homotópica de estructura a través de equivalencias homotópicas. Esto ha sido escrito, con fórmulas de árbol explícitas, por Johan Granåker en "Strong homotopy properads" disponible en http://arxiv.org/abs/math/0611066 y publicado en IMRN. Para obtener el enunciado en el nivel de las operadas, elimine las dos primeras letras de la palabra "properada" y considere sólo los árboles enraizados en lugar de los grafos en loc. cit. (Más en serio, un álgebra asociativa es una operada concentrada en aridad 1.) Las properadas modelan operaciones con varias entradas y varias salidas. Así que una operada es una properada concentrada en aridad (muchas [entradas], 1 [salidas])).

En el artículo con Merkulov, utilizamos el teorema de transferencia de homotopía para co(pr)operadas para entender el modelo mínimo de la properada que codifica las bialgebras asociativas (lo aplicamos a la construcción de barras). Y en un artículo de próxima publicación con Gabriel Drummond-Cole, utilizamos la misma idea para hacer explícito el mínimo de la operada que codifica las álgebras de Batalin-Vilkovisky.