Modelo de Ising en grupos

Question

¿Puede deducirse algo interesante sobre las propiedades de un grupo a partir del comportamiento del modelo de Ising en su grafo de Cayley? (es decir, existencia y carácter de las transiciones de fase, comportamiento crítico) No estoy seguro, sin embargo, de si cabe esperar algún resultado general (¿vínculo entre la geometría a gran escala y la clase de universalidad, tal vez?), ya que incluso una geometría muy simple del grupo (digamos, $\mathbb{Z^2}$ ) pueden dar propiedades estadísticas altamente no triviales.

Answer 1

Quizá pueda resumir mis comentarios en esta respuesta. El modelo de Ising en grafos de Cayley es similar pero más difícil que los modelos de percolación (sitio, enlace y otros). La referencia "canónica" para la percolación en grafos transitivos (incluidos los grafos de Cayley) es Benjamini-Schramm (véanse las referencias aquí ). Existen profundas conexiones entre las propiedades geométricas de los grafos de Cayley (por ejemplo, el crecimiento, la amenidad, etc.) y las propiedades de la percolación (por ejemplo, el número de fases diferentes, los exponentes críticos, etc.). Existen conexiones similares para el modelo de Ising, aunque este modelo es más difícil y está mucho menos explorado. Véanse las referencias en la tesis de Spakulova "Percolation and Ising Model on Tree-Like Graphs" y "The Ising model and percolation on trees and tree-like graphs" de Russell Lyons, Comm. Math. Volumen 125, Número 2 (1989), 337-353.

Answer 2

Esto se ha estudiado. Véase

@article {MR1390236, AUTOR = {Regge, Tullio y Zecchina, Riccardo}, TITLE = {Solución exacta del modelo de {I}sing en redes de grupos de género { $g>1$ }}, JOURNAL = {J. Math. Phys.}, FJOURNAL = {Journal of Mathematical Physics}, [ ] AÑO = {1996}, NUMERO = {6}, PAGES = {2796--2814}, [ ] CODEN = {JMAPAQ}, MRCLASS = {82B20 (82B23)}, MRNUMBER = {1390236 (97f:82014)}, MRREVIEWER = {Gunter Sch{"u}tz}, [ ] URL = { http://dx.doi.org/10.1063/1.531690 }, }