Láminas localmente constantes para la topología étale, falta de intuición sobre la "étale-localidad"

Question

He empezado a estudiar algo de cohomología étale y estoy tratando de construir alguna intuición sobre el concepto de local para la topología étale . Puedo entender algunos buenos ejemplos (como la sucesión exacta de Kummer), pero todavía estoy bastante confundido por algunas nociones "fáciles", tales como las poleas localmente constantes.

Creo que una gavilla étale que es étale localmente isomorfa a lo mismo debe ser también globalmente isomorfo a esa gavilla constante si los isomorfismos verifican alguna condición de cocycle, pero aquí está un juguete ejemplo que parece contradecir esto:

Sea $k$ sea un campo, $n$ un número entero invertible en $k$ y asumir que $k$ no contiene todos $n$ -raíces de la unidad. Consideremos ahora las dos siguientes láminas étale sobre $X=Spec\; k$ :

• La gavilla de raíces n-ésimas de la unidad $\mu_n$ ;
• La gavilla constante $\mathbb Z/n \mathbb Z$ .

No son isomorfas ya que sus secciones en $Spec\; k$ son diferentes, pero se vuelven isomorfas después de cierta extensión separable finita de escalares, de modo que son isomorfas étale localmente. Para ser precisos, $U=Spec(k[T]/(T^n-1))$ es una cubierta estal de $X$ tal que los pullbacks de las dos láminas son isomorfos.

¿Por qué estas dos láminas son localmente isomorfas pero no isomorfas?
¿Es normal que este isomorfismo no "parchee"? (lo que implicaría que las gavillas sobre el sitio étale pequeño en $Spec\; k$ no forman un preapilamiento)

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Si intento pensar a todo esto "stalkwise", cambiando al punto de vista de topoi, (no estoy muy familiarizado con la teoría de topoi así que por favor corregidme si estoy escribiendo tonterías) creo que:
el topos de gavillas sobre $Spec\;k$ con el pequeño sitio étale tiene suficientes puntos, una familia de puntos conservativa que consiste en un solo elemento (el anillo local étale es algún cierre separable $k^{sep}$ de $k$ ); y en este anillo local las dos láminas anteriores coinciden.
De ello se deduce que, en cuanto tengamos un morfismo de las láminas que induzca este isomorfismo en el tallo, las dos láminas deberían ser isomorfas, lo que no es el caso.

¿Es sólo porque no tenemos tal morfismo o me estoy perdiendo algo más fundamental aquí?

Answer 1

$Isom(F,G)$ es una gavilla etale. Si tomamos $F = \mathbb Z/n$ y $G = \mu_n$ , entonces $G$ es una gavilla de $F$ -módulos, y así la evaluación en la sección global $1$ da un isomorfismo de las láminas $Hom(\mathbb Z/n,\mu_n) \cong \mu_n$ que identifica $Isom(\mathbb Z/n,\mu_n)$ con la subserie de $\mu_n$ cuyas secciones son primitivas $n$ raíces de la unidad. Por lo tanto, no hay isomorfismo global precisamente porque (por suposición) no hay primitiva $n$ raíz de $1$ en $k$ .

Ciertamente, si tomamos $l = k[X](X^n - 1)$ podemos encontrar una sección del $Isom$ sobre Spec $l$ pero esta sección no desciende a una sección sobre Spec $k$ porque no satisface las condiciones de encolado requeridas en Spec $l \times$ Espec $l =$ Espec $l\otimes_k l$ . (Estas condiciones de encolado equivalen a la invariancia de Galois a la que se refiere Tom Goodwillie en su comentario anterior).

Tal vez la fuente de su confusión es que si $V$ es un conjunto abierto de un espacio topológico, entonces $V \cap V = V$ pero en el sitio etale (en el que la intersección de generalidades se sustituye por el producto de fibras), $V\times V$ suele ser bastante mayor que $V$ .

Answer 2

La respuesta corta es que las cosas localmente isomorfas no tienen por qué ser globalmente isomorfas, y esto no es específico de la topología etale. Permítanme explicarlo en detalle para localmente constantes de espacios vectoriales en un espacio topológico ordinario (suficientemente bueno) $X$ . Estas láminas corresponden a representaciones del grupo fundamental (véase ¿Por qué son equivalentes los sistemas locales y las representaciones del grupo fundamental? ). Dos localmente constantes constantes $F$ y $G$ del mismo rango son localmente isomorfas, y de hecho retroceden a a tramas isomorfas en la cubierta universal $\tilde X\to X$ . Sin embargo, no serán isomorfas a menos que las representaciones correspondientes coincidan. Esto es totalmente análogo al ejemplo de las láminas no isomorfas $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ y $\mu_n$ tirando de a tramas isomorfas en $Spec( k^{sep})$ .

(Mientras escribía esto, me doy cuenta de que Emerton ya ha dado una respuesta, pero quizá dos sean mejor que ninguna).