El producto infinito es convergente

Question

Añado este problema ya que es interesante y valioso para ser verificado aquí:

Demostrar que el producto infinito $\prod_{k=1}^{\infty}(1+u_k)$ en el que $u_k>0$ converge si $\sum_{k=1}^{\infty} u_k$ converge. ¿Y el problema inverso?

Gracias por cualquier idea.

Answer 1

Tenga en cuenta que $u_k > 0$ tenemos $$\sum_{k=1}^n u_k \leq \prod_{k=1}^n (1+u_k) \leq \exp \left(\sum_{k=1}^n u_k \right)$$ Por lo tanto, si $u_k>0$ tenemos que $\displaystyle \prod_{k=1}^\infty (1+u_k)$ converge si $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty u_k$ converge.