Encontrar una solución continua del problema de valor inicial

Question

Esta pregunta es del libro DE de Braun(Pg no 10, Q no 17),

Encontrar una solución continua del problema de valor inicial $y'+y= g(t), y(0)= 0$ donde $g(t)=\begin{cases}2, &0 \leq t\leq 1, \\0, &t > 1\end{cases} $

ya que la condición inicial está dada en (0,0), por lo tanto consideramos $g(t)=2$ y así resolver $y'+y=2$ da el factor integrador $\mu(t)=Ce^t \Rightarrow y=2+Ce^{-t} \Rightarrow C=-2 \Rightarrow y=2(1-e^{-t})$ la respuesta dada en el texto es la siguiente

$y(t) = \begin{cases} 2(1-e^{-t}), &0\leq t\leq 1\\ 2(e-1)e^{-t}, &t > 1 \end{cases} $

incluso si consideramos $g(t)=0$ obtenemos $\ln|y|=-t+C$ y no podemos seguir adelante ya que no hay condición inicial, $y(1)=?$ mi pregunta es como resolver para $y$ en $t>1$ y también, ¿encontramos límite izquierdo y derecho en $t=1$ para demostrar que la respuesta es una función continua?

Answer 1

Ya tiene la solución para $0 \le t \le 1$ . ¿Qué es el $y(1)$ en esa solución? Ahora resuelve en $1 < t < \infty$ con esa como condición inicial.

En realidad, aquí hay una objeción técnica. La solución que se obtiene no es diferenciable en $t=1$ : tiene derivados unilaterales de izquierda y derecha allí, pero son diferentes. Así que no es realmente una solución de la ecuación diferencial en $t=1$ . Es lo que se llama un solución débil .