Algoritmo de división: Sea $a$ , $b$ $\in \mathbb{Z}$ sean números enteros cualesquiera y $b \neq 0$ . Entonces, $\exists$ números enteros únicos $q$ , $r$ tal que
$a = bq + r$ y $0 \leq r < |b|$ .
Estoy tratando de mostrar la existencia por inducción en un, y necesito ayuda.
Esto es lo que he hecho hasta ahora:
$a=1$ : Supongamos que $a=1$ . Entonces, podemos escribir $1 = b\cdot 0 + 1$ . Este sería el caso cuando $b>a$ Así que $0\leq r<|b|$ se cumple.
Supongamos que $a=k$ : Supongamos que para $k \in \mathbb{Z}$ , $b \neq 0$ , $\exists q_{k}$ , $r_{k}$ s.t. $k = b\cdot q_{k}+r_{k}$ donde $0\leq r_{k} < |b|$ .
Mostrar verdadero para $a=k+1$ : Suponiendo el caso de $a=k$ :
$k=b\cdot q_{k}+r_{k}$ donde $0\leq r_{k} < |b|$ .
Entonces, $k+1=b\cdot q_{k}+r_{k}+1 \to$ $k+1 = b\cdot q_{k}+(r_{k}+1)$ .
Si $r_{k}+1 < |b|$ entonces $q_{k}=q_{k+1}$ , $r_{k+1}=r_{k}+1$ y ya está.
Si $r_{k}+1 \geq |b|$ entonces $q_{k+1}=q_{k}+1$ hasta que $r_{k+1}<|b|$ y conseguimos el resultado deseado.
Me preguntaba si esta prueba es correcta y, en caso negativo, qué tengo que hacer para solucionarlo. Además, ¿también tengo que demostrar que puedo hacer esto:
"Si $r_{k}+1 \geq |b|$ entonces $q_{k+1}=q_{k}+1$ hasta que $r_{k+1}<|b|$ y conseguimos el resultado deseado".
y si es así, ¿cómo lo hago?
Gracias.
