Dado $a,b,c$ son números reales tales que $a-b=8$ y $ab + c^2 +16 =0$ . El valor numérico de $a^{2021} + b^{2021} +c^{2021}$ ¿lo es?

Question

Vi esta pregunta y me intrigó. Quería ver si lo que tengo hasta ahora tiene sentido.

Así, a partir de la segunda ecuación $ab + c^2 +16 =0$ obtenemos $c^2 = -(16+ab)$ . Lo que implica $16+ab\leq0$ o $ab\leq-16$ . A continuación, utilizando la primera ecuación $a-b=8$ y resolviendo para $a$ obtenemos $a=8+b$ . A continuación, sustituyendo $a$ en la desigualdad obtenemos:

$\begin{align} ab&\leq-16\\ (8+b)b&\leq-16\\ 8b+b^2&\leq-16\\ b^2+8b+16&\leq0\\ (b+4)^2&\leq 0\\ \end{align}$

Así que debemos tener $b=-4$ para que esta desigualdad sea cierta. Entonces $a=4$ y $c^2 = 0 \implies c = 0$ . Por lo tanto

$\begin{align} a^{2021} + b^{2021} +c^{2021} = 4^{2021} + (-4)^{2021}= 4^{2021} -4^{2021} = 0. \end{align}$

Si alguien ve algo mal que me avise o si hay otra solución ¡tengo curiosidad!

Answer 1

Sí, tiene razón. El valor numérico es $0$ con $a=4,b=-4$ y $c=0$ .

Cómo lo hice [antes de abrir este post]: Primero ten en cuenta que para que haya una solución real a la ecuación $ab+16+c^2=0$ el producto $ab$ debe cumplir $ab \le -16$ . La única $(a,b)$ que satisfaga $ab \le -16$ con $a-b=8$ es $a=4,b=-4$ y así $c=0$ .

Pues la misma idea que la tuya.

Sin embargo, si el " $16$ "se sustituyera por un número mayor, no habría tal $a,b,c$ que satisfagan simultáneamente las dos restricciones resultantes, y si la " $16"$ se sustituyera por algo más pequeño, no sólo habría un número infinito de $a,b,c$ que satisfagan simultáneamente las dos restricciones resultantes, pero también habría un número infinito de valores que $a^{2021}+b^{2021}+c^{2021}$ podría tomar para tal $a,b,c$ .