Siempre me ha fascinado el hecho de que los clásicos Suma de Gauss tiene valor absoluto $\sqrt p$ que es exactamente lo que esperaríamos si interpretáramos la suma de Gauss como un paseo aleatorio. En particular, hace tiempo que me pregunto si este aparente vínculo entre la teoría de números y la teoría de probabilidades es sólo una curiosidad, o si es síntoma de una conexión más profunda. Por ejemplo, hay muchos argumentos heurísticos en la teoría de números que tratan a los primos como "aleatorios". ¿Hay algún ejemplo de tal argumento heurístico que pueda hacerse riguroso utilizando la observación anterior sobre las sumas de Gauss?
Respuestas
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La cuestión es que es bien sabido que para las sumas cuadráticas de Gauss, expresadas como suma exponencial en lugar de con símbolos de Legendre, el camino no es en absoluto un paseo aleatorio cuando lo trazas en el plano complejo. Hay mucha estructura visible como espirales de Cornu aproximadas.
Tales sumas no son las únicas sumas de Gauss, como sé a mi costa; y el caso cuadrático es atípico (quizás). Pero desde un punto de vista elevado, una suma de Gauss es una función especial en la teoría de campos finitos (como una función Gamma). Parece más provechoso preguntarse qué tiene de especial.
kevtrout
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Advertencia : como respuesta a la pregunta de Timothy, esto es tangencial en el mejor de los casos.
En cuanto a los comentarios de Gerry y Kevin, tal vez les interese la sección 2 del documento estas notas mías de un curso universitario de teoría de números, en el que la filosofía del "error de la raíz casi cuadrada" se debate durante un rato, especialmente en relación con la hipótesis de Riemann. Este es quizá mi conjunto favorito de apuntes de clase de este curso, quizás porque tuve la oportunidad de (hablar y) escribir con entusiasmo sobre cosas que apenas entiendo: Desde luego, no pretendo tener un nivel profesional de conocimientos. (De hecho, algunos habituales de este sitio podrían hacerlo mucho mejor, y me interesaría escuchar sus críticas).
El resultado, sin embargo, es el de estar de acuerdo con Gerry y Kevin: tener tamaño $\sqrt{p}$ en la nariz es sólo un poco mejor que el azar, pero ese poco marca una gran diferencia: para mí, esto sugiere una estructura muy precisa en lugar de aleatoriedad.
Por favor, ver aquí para conocer otro punto de vista sobre el error de raíz casi cuadrada en el contexto de la conjetura de Sato-Tate. Este último artículo se escribió casi al mismo tiempo que el mío, y resulta que el autor es mi antiguo director de tesis. Estoy razonablemente seguro de que ambas coincidencias son realmente casuales.
dwelch
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En realidad, creo que hay conexiones. Incluso si la coincidencia $\sqrt{p}$ parece ordinario, hay secuencias de baja correlación que deben su baja correlación a las estimaciones de la suma de Gauss y mirando desde un punto de vista probabilístico secuencias, yo pensaría que habría interpretaciones desde un punto de vista de variables aleatorias no correlacionadas. Tu punto de partida podrían ser las secuencias de baja correlación utilizadas en los sistemas de comunicaciones y más allá de eso pensaría que la inmersión de Nicholas Katz y Sarnak en las matrices aleatorias sería de ayuda. http://books.google.com/books?id=wXyOPbzvowsC&printsec=frontcover&dq=inauthor:%22Nicholas+M.+Katz%22&hl=es&ei=j9IrTu24CpKnsAKG5c3DCw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5&ved=0CD8Q6AEwBA#v=onepage&q&f=false
