¿Qué se sabe de las involuciones birracionales de P^3?

Question

Descripción del grupo de automorfismos birracionales de $\mathbb{P}^n$ , $\mbox{Bir}(\mathbb{P}^n)$ para $n\ge 3$ es un problema abierto fundamental en geometría birracional. Para $n=2$ el teorema clásico de Noether dice que este grupo está generado por transformaciones lineales y la transformación de Cremona, que viene dada por $$ \phi:(x_0 : x_1 : x_2) \to (x_0^{-1} : x_1^{-1} : x_2^{-1}). $$ Para $n\ge 3$ existe una transformación de Cremona análoga, pero se sabe que el grupo $\mbox{Bir}(\mathbb{P}^n)$ ya no es generado por este y $\mbox{PGL}_{n+1}(\mathbb{C})$ . Por lo tanto, mi pregunta es

A biracionales de $\mathbb{P}^3$ ?

En caso afirmativo, ¿se han clasificado? También estoy interesado en el análogo del teorema de Noether en este caso: ¿Existen ejemplos de transformaciones birracionales de $\mathbb{P}^3$ que no pueda escribirse como una composición de involuciones birracionales?

Answer 1

Sea $\mbox{Inv}(\mathbb P^n)$ b subgrupo de $\mbox{Bir}(\mathbb{P}^n)$ g $\mbox{PGL}(n+1, \mathbb C)$ .

Si $n\ge 3$ entonces cualquier conjunto generador de $\mbox{Inv}(\mathbb P^n)$ contiene incontables involuciones. Más precisamente para cualquier $d >1$ t incontablemente muchas involuciones de grado $\ge d$ en cualquier grupo electrógeno de $\mbox{Inv}(\mathbb P^n)$ .

Esta es una consecuencia directa de la prueba de Teorema de Hudson-Pan que afirma que $\mbox{Bir}(\mathbb{P}^n)$ , $n\ge 3$ necesita incontables generadores de grado mayor que $d$ para cualquier $d>1$ .

Permítanme repasar brevemente la prueba de Pan adaptándola para demostrar la observación anterior. Se consigue en dos pasos:

1. para cada hipersuperficie $H$ de $\mathbb P^{n-1}$ existe una transformación birracional de $\mathbb P^n$ que contrae un cono sobre $H$ ;

2. una hipersuperficie contraída por un producto de transformaciones birracionales $f_1 \circ f_2 \circ \cdots \circ f_k$ es birracional a una hipersuperficie contraída por una de las transformaciones birracionales $f_1, \ldots, f_k$ .

La prueba de 2 es sencilla. Para demostrar 1, fijemos $p \in \mathbb P^n$ y considerar el subgrupo $\mbox{St}_p(\mathbb P^n) \subset \mbox{Bir}(\mathbb P^n)$ que envía líneas a través de $p$ a líneas a través de $p$ . Se puede demostrar que $\mbox{St}_p(\mathbb P^n)$ encaja en la secuencia exacta dividida $$ 1 \to \mbox{PGL}(2,\mathbb C(\mathbb P^{n-1})) \to \mbox{St}_p(\mathbb P^n) \to \mbox{Bir}(\mathbb P^{n-1}) \to 1 $$ donde el mapa de la derecha está definido por la acción sobre el espacio de líneas a través de $p$ y la más a la izquierda se define por la acción sobre las fibras del $\mathbb P^1$ -obtenido a partir de $\mathbb P^n$ después de explotar $p$ .

Ahora dado $h \in \mathbb C(x_0, \ldots, x_{n-1})$ podemos considerar el elemento de $\mbox{PGL}(2,\mathbb C(\mathbb P^{n-1}))$ definido por $$ (s:t) \mapsto (t:h\cdot s) \, . $$ Claramente, esto define una involución birracional de $\mathbb P^{n-1} \times \mathbb P^1$ que contrae el divisor asociado a $h$ . Por supuesto, podemos realizarlo como un elemento de $\mbox{St}_p(\mathbb P^n)$ induciendo la identidad en $\mbox{Bir}(\mathbb P^{n-1})$ y contrayendo un cono sobre $H=h^{-1}(0)$ con vértice en $p$ .

Obsérvese que podemos elegir un número incontable de $H$ en incontables biracionales distintos clases de equivalencia. Si juntamos esta observación con 1 y 2 podemos concluir.

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Probablemente pero existe una clasificación de involuciones biracionales de $\mathbb P^2$ por Bayle-Beauville que completa y aclara trabajos anteriores de Bertini y otros. Componiendo las involuciones de $\mathbb P^2$ con elementos de $PGL(2,\mathbb C(\mathbb P^2))$ da muchos ejemplos de involuciones birracionales de $\mathbb P^3$ que también están en $\mbox{St}_p(\mathbb P^3)$ .

Para más información $\mbox{St}_p(\mathbb P^n)$ ver esto otro papel de Pan.

Answer 2

Hay muchos otros ejemplos de involuciones birracionales de $\mathbb{P}^3$ que se conocen. Por el momento, no existe una clasificación precisa como en dimensión $2$ . Sin embargo, el siguiente preprint de Yuri Prokhorov da un primer buen paso hacia una clasificación:

Yuri Prokhorov, "Sobre involuciones biracionales de $\mathbb{P}^3$ " http://arxiv.org/abs/1206.4985

En dimensión $2$ podemos decir si dos involuciones son conjugadas sólo mirando los puntos fijos. Cuando las curvas fijan puntualmente una curva de género positivo, la curva tiene que ser la misma (argumento fácil), pero esta condición es de hecho suficiente (argumento difícil, sólo se deduce de la clasificación). Lo mismo funciona para cualquier orden, observando atentamente los puntos fijos de todas las potencias (véase J. Blanc, "Elementos y subgrupos cíclicos de orden finito del grupo de Cremona". Comment. Math. Helv. 86 (2011), nº 2, 469-497, http://arxiv.org/abs/0809.4673 ).

En dimensión $3$ podemos tener la misma discusión, sustituyendo las curvas fijas de género positivo por superficies fijas que no estén regidas por biraciones (otras superficies pueden ser contraídas por mapas biracionales). El artículo de Yuri Prokhorov estudia el caso en que existe tal superficie fija.

Answer 3

He aquí un ejemplo de involución birracional de $\mathbb P^n$ que al menos no sea obviamente una combinación de transformaciones de Cremona:

Supongamos que $H\subset \mathbb P^{n+1}$ es una hipersuperficie de grado $d$ en $\mathbb P^{n+1}$ tal que contenga dos puntos $P_1,P_2\in H$ tal que la multiplicidad de $H$ en $P_i$ es exactamente $d-1$ para $i=1,2$ . Tales hipersuperficies pueden construirse con un poco de trabajo.

Ahora la proyección de $P_i$ define un isomorfismo birracional entre $H$ y $\mathbb P^n$ y la composición de éstas define una involución birracional sobre $\mathbb P^n$ .