Las transiciones de paquete de vectores y cohomología de Čech

Question

He leído que transición mapas $g_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to GL(n)$ de un paquete del vector de la fila $n$ se relaciona con el grupo cohomología Čech $H^1\left(M,GL(n,\mathcal{C}^\infty_M)\right)$ (para la gavilla de funciones con valores en $GL(n)$). ¿Alguien podría proporcionar una exposición precisa con una explicación o una referencia?

¡Gracias!

Answer 1

El resultado que usted está pensando es la siguiente:

La proposición. Deje $M$ ser un suave colector, y deje $\mathscr{C}^\infty_M$ ser la gavilla de las funciones lisas en $M$.

• Para cualquier entero positivo $n$, existe un natural bijection entre clases de isomorfismo de $n$-dimensiones suave vector de paquetes en $M$ y la directora $\mathrm{GL}(n, \mathscr{C}^\infty_M)$-paquetes en $M$, o lo que es equivalente, suave principal $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$-paquetes en $M$.

• Para cualquier gavilla de grupos de $\mathscr{G}$, existe un natural bijection entre clases de isomorfismo de director de la $\mathscr{G}$-paquetes y elementos de la Čech cohomology grupo $H^1 (M, \mathscr{G})$.

Hay que poner las dos bijections juntos nos da lo que queremos.

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La conexión entre las tres ideas que es más o menos sencillo, incluso si la verificación de los detalles es tedioso. Primero de todo, supongamos $E$ $n$- dimensiones suave vector paquete en la $M$. Entonces, hay una apertura de la tapa $\mathfrak{U}$ $M$ con respecto a la cual se $E$ es trivial, y la fijación de un local trivialización – la transición mapas nos dan una Čech 1-cocycle para la gavilla $\mathrm{GL}(n, \mathscr{C}^\infty_M)$ con respecto a la cubierta de la $\mathfrak{U}$. Un Čech 1-coboundary para una gavilla es la misma cosa como una sección global, y no es difícil comprobar que las secciones de $\mathscr{G} = \mathrm{GL}(n, \mathscr{C}^\infty_M)$ actúan en el conjunto de locales trivialisations de $E$. Por otra parte, cualquiera de los dos trivialisations de $E$ $\mathfrak{U}$ están relacionados por ejemplo una sección global. Por lo tanto, obtenemos una "característica" elemento de $H^1(\mathfrak{U}, \mathscr{G})$ por cada trivializar la cubierta de la $\mathfrak{U}$–, pero no hemos terminado todavía.

Supongamos que tenemos otra trivializar la cubierta de la $\mathfrak{V}$; a continuación, obtenemos un elemento de $H^1(\mathfrak{V}, \mathscr{G})$. Pero $H^1(\mathfrak{U}, \mathscr{G})$ $H^1(\mathfrak{V}, \mathscr{G})$ son grupos diferentes, entonces, ¿cómo podemos comparar los elementos característicos obtenemos? Bueno, en primer lugar, podemos tomar un común refinamiento $\mathfrak{W}$$\mathfrak{U}$$\mathfrak{V}$, y una trivialización $\mathfrak{U}$ o $\mathfrak{V}$ induce una trivialización $\mathfrak{W}$ por restricción. Del mismo modo, cocycles y coboundaries puede ser refinado, por lo que tenemos homomorphisms $$H^1(\mathfrak{U}, \mathscr{G}) \rightarrow H^1(\mathfrak{W}, \mathscr{G}) \leftarrow H^1(\mathfrak{V}, \mathscr{G})$$ y resulta que los dos elementos característicos llegamos a ser igual en $H^1(\mathfrak{W}, \mathscr{G})$ bajo estas homomorphisms. Por lo tanto, podemos pasar todo el camino a $H^1(M, \mathscr{G})$ – y el elemento característico de llegar allí sólo depende del isomorfismo clase de $E$.

En la dirección inversa, debemos encontrar un vector paquete cuyo elemento característico es algún elemento seleccionado de $H^1(M, \mathscr{G})$. Desde $H^1(M, \mathscr{G})$ se define como la filtrada colimit de $H^1(\mathfrak{U}, \mathscr{G})$ sobre todos los abra las cubiertas $\mathfrak{U}$, se puede elegir una cubierta abierta $\mathfrak{U}$ y un Čech 1-cocycle w.r.t. $\mathfrak{U}$ que representa el elegido cohomology de la clase. Un argumento estándar, a continuación, demuestra que se puede construir un vector paquete de $E$ que se ha trivializado $\mathfrak{U}$ con mapas de transición dada por el elegido cocycle.

Casi exactamente el mismo argumento muestra que hay un bijection entre los elementos de las $H^1(M, \mathscr{G})$ y clases de isomorfismo de director de la $\mathscr{G}$-paquetes.

Me temo que en realidad no saben de referencia para esta situación. Milne habla acerca de la segunda bijection en el §11 de sus Conferencias sobre étale cohomology, y Johnstone más o menos define $H^1(M, \mathscr{G})$ el uso de la bijection en el artículo 8.3 de la teoría de Topos.

Answer 2

Como ya se ha dicho, no es un bijection entre $H^1(M, GL(n, \mathcal{C}^{\infty}_M))$ y el conjunto de todas las clases de isomorfismo de suave rango de $n$ vector de paquetes en $M$. Lee la Introducción a la Suave Colectores es un libro bueno en general, pero para sus fines tiene la inestimable ayuda de algunos ejercicios. Si usted realmente desea entender la bijection, le sugiero que vaya a través de los siguientes ejercicios:

• Ejercicio 5.3: Esto demuestra que la transición de las funciones para un buen rango de $n$ vector paquete en la $M$ definir un Čech $1$-cocycle con valores en $GL(n, \mathcal{C}^{\infty}_M)$.
• Ejercicio 5.4: Esto demuestra que cualquier cocycle define un suave rango de $n$ vector paquete en la $M$.
• Ejercicio 5.5: Esta muestra la relación entre dos Čech $1$-cocycles que definen isomorfo suave rango de $n$ vector de paquetes en $M$.

Sería de esperar que la relación obtenida en el Ejercicio 5.5 es 'cohomologous'. Sin embargo, tenemos que ser cuidadosos porque para $n > 1$, $GL(n, \mathcal{C}^{\infty}_M)$ es una gavilla de no abelian grupos; en particular, ¿qué significa ser cohomologous en esta configuración? Afortunadamente, Brylinski del Bucle de Espacios, Características y Clases de Cuantización Geométrica define lo que significa (véase el Capítulo 4, Sección 4.1, la Ecuación 4-2); tenga en cuenta, esto es sólo para el caso de 1-cocycles, pero eso es todo lo que usted necesita. Afortunadamente, el resultado que se obtiene del Ejercicio 5.5 dice que dos cocycles la definición de isomorfo suave rango de $n$ vector de paquetes son cohomologous. En resumen:

Para un determinado cohomology de clase en $H^1(M, GL(n, \mathcal{C}^{\infty}_M))$, elija un cocycle representante de $(\tau_{ij})$ y construcción (a través de Ejercicios 5.4) el buen rango de $n$ vector paquete de $E$$M$. A continuación, el mapa de $[(\tau_{ij})] \mapsto [E]$, donde los corchetes indican la correspondiente cohomology y clases de isomorfismo, respectivamente, está bien definido y es en realidad un bijection entre el $H^1(M, GL(n, \mathcal{C}^{\infty}_M))$ y el conjunto de todas las clases de isomorfismo de suave rango de $n$ vector de paquetes en $M$.

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Todavía se puede apreciar lo que está sucediendo, si no haces los ejercicios, pero te recomiendo que obtenga una copia de Lee el libro y por lo menos mirar a ellos.

Answer 3

Así, considere la posibilidad de un Čech Complejo en M, dada por la abierta cubriendo $\{U_\alpha\}$, de tal manera que en $U_\alpha$, M es trivial (i.e existe un gráfico para que el vector paquete trivial). Tomemos en cada una de las $U_\alpha$ local como banalizaciones allí, y tenga en cuenta que estos son elementos de la $GL(n,C U^\infty_I)$ ( yo por este medio todas continua $U \rightarrow GL(n)$). Tenemos una Čech complejo de cadena: $$\amalg_\alpha C(U_\alpha) \rightarrow \amalg_{\alpha, \beta} C(U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow \cdots,$$ where $C(U_I)$ denotes $GL(n,C U^\infty_I)$. You know that a Čech 1-cochain is an element f of $\amalg_{\alpha,\beta} C(U_\alpha \cap U_{\beta})$ such that for all $\alpha, \beta \gamma$, $f_{\alpha,\beta}-f_{\alpha,\gamma}+f_{\beta\gamma} = 0$, lo que asciende a la relación que la transición de las funciones satisface el "cocycle condición".

Me doy cuenta de que esta explicación es un poco rara, pero espero que me podría obtener la idea principal de todo.