Cuál de los números $1, 2^{1/2}, 3^{1/3}, 4^{1/4}, 5^{1/5}, 6^{1/6} , 7^{1/7}$ es más grande, y cómo averiguar sin calculadora?

Question

$1, 2^{1/2}, 3^{1/3}, 4^{1/4}, 5^{1/5}, 6^{1/6} , 7^{1/7}$.

Tengo esta pregunta en una Aplicación de Derivados de la prueba. Creo registro puede ser utilizado para comparar los valores, pero incluso entonces, los valores están muy cerca el uno del otro y difieren en menos de 0.02, lo que hace difícil obtener alguna respuesta concreta a esta pregunta. Cómo resolver esto a través de un método definitivo?

Answer 1

Usted puede usar el cálculo para encontrar donde el máximo de $f(x)=x^{1/x}$ produce. Usted encontrará que es en $x=e$. Usted también encontrará que $f(x)$ es el aumento de $0< x<e$ y la disminución de $e<x$.

Por desgracia, la elección $e^{1/e}$ no le fue dado. Los dos valores de $x$ que son dado que el soporte de la $e$ son $2$ y $3$, por lo que la opción correcta es de $2^{1/2}$ o $3^{1/3}$.

Podemos decidir entre los dos de ellos elevando ambos lados a la sexta potencia.

\begin{align} 2^{1/2} &\stackrel{?}{=} 3^{1/3} \\ \left(2^{1/2}\right)^6 &\stackrel{?}{=} \left(3^{1/3}\right)^6 \\ 2^3 &\stackrel{?}{=} 3^2 \\ 8 &\stackrel{?}{=} 9 \end{align}

Vemos que $x=3$ nos da el mayor valor de la función, por lo que la respuesta correcta es

$$3^{1/3}$$

Answer 2

Sugerencia: buscar en $f(x) = x^{1/x}$ y decidir si esta función es creciente o no. Escribir $x^{1/x} = e^{(\ln x)/x}$ para diferenciar que es más fácil.

Answer 3

Considere la función $f(x) = x^{1/x}$. Nos preguntamos, cuando esto es maximizado? Entonces, nos preguntamos, ¿qué es de $f'(x)$? Para ello, utilizamos logarítmica derivados.

$$ \log f(x) = \log x^{1/x} = \frac{\log x}{x},$$ así $$ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1 - \log x}{x^2},$$ o más bien $$ f'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2} x^{1/x}.$$ Aviso que esto es positivo cuando $1 > \log x$ y negativo cuando $1 < \log x$, así que el max es $x = e$. Esto significa que el máximo valor de $f(x)$ va a ser a $2^{1/2}$ o $3^{1/3}$. Podríamos adivinar que, desde $e$ es cercana a los us $3$, $e^{1/3}$ será el más grande de los dos. Utilizando el método de su elección para evaluar $2^{1/2}$ y $3^{1/3}$, podemos confirmar que la heurística: $3^{1/3}$ es mayor.

Answer 4

$3^{\frac{1}{3}}$ es el más grande.

En general $y=x^{\frac{1}{x}}$, que alcanza su máximo en $x=e$ **. En este caso, técnicamente no se puede saber si y es mayor cuando $x=2$ o $x=3$, pero supongo que siempre se puede hacer rápido cálculo mental para que estos se dan cuenta de $2^3<3^2$ y por tanto $2^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{3}}$.

** Prueba:

$d(\ln{y})=d(\frac{\ln{x}}{x})$

$\frac{dy}{y}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}dx$

resolver $\frac{dy}{dx}=0$ para obtener $x=e$. También es fácil comprobar que $\frac{dy}{dx}>0$ cuando $0<x<e$; $\frac{dy}{dx}<0$ cuando $x>e$.

Answer 5

SUGERENCIA: Esto le ayuda a resolver el problema puramente algebraica. $$n^{\dfrac1{n}}\lt(n+1)^{\dfrac1{n+1}}\implica n^{n+1}\lt(n+1)^n\implica n\lt\left(1+\dfrac1{n}\right)^n\lt \color{Rojo}3.$$