Determinante de una matriz

Question

Tengo problemas con el determinante de una matriz M de 4x4.

$ M = \left( {\begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 &-1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 1 &1 &0 &0 \\ 3&1&2&0 \end{array} } \right) $

Siguió adelante y lo desarrolló según la 4ª columna. Así que termino con dos matrices A y B.

$ A = -1 \cdot det \left( {\begin{array}{cc} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 &1 &2 \\ \end{array} } \right) $

$ B = 2 \cdot det \left( {\begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 &1 &2 \\ \end{array} } \right) $

Recibo $A= (-1) \cdot((0 \cdot1\cdot2)+(1\cdot0\cdot3)+(2\cdot1\cdot1)-(3\cdot1\cdot2)-(1\cdot2\cdot2)-(1\cdot1\cdot0)) \\$

$A=(-1) \cdot(-6)=6$

$B= 2 \cdot((1\cdot1\cdot2)+(2\cdot0\cdot3)+(3\cdot1\cdot1)-(3\cdot1\cdot3)-(1\cdot2\cdot2)-(1\cdot1\cdot0)) \\$

$B = 2\cdot8=16$

$A+B=22$

que está mal. ¿Dónde está mi error? La respuesta correcta debería ser $-22$ pero no entiendo por qué mi solución sigue siendo positiva.

Editar: soy un idiota: A = 1* det y B = -2 * det. Todo se aclara en la cama. ¡Hehe!

Answer 1

La fórmula para calcular el determinante viene dada por

$$\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \times \cdots \times a_{n \sigma(n)},$$

Si quieres que te explique toda la fórmula, puedo hacerlo, pero lo importante ahora mismo es el $(-1)^{\sigma}$ que se refiere al signo de cada entrada por la que se expande.

En primer lugar, ha ampliado por elementos $a_{1,4}$ por lo que el signo debe ser $(-1)^{1 + 4} = -1$ por lo que su determinante de $A$ debe ser

$$(-1) \cdot (-1) \cdot (-6) = -6.$$

Por lo tanto, su signo para cuando se expande por fila $4$ columna $2$ va a ser $(-1)^6 = 1$ .

Otro error que has cometido es que el determinante de $B$ n'est pas $16$ es $-16$ .

Answer 2

Usted está expandiendo hacia abajo la cuarta columna, lo que significa que el cofactor de entrada $ \ a_{14} = -1 \ $ es negativo y el cofactor de entrada $ \ a_{24} = 2 \ $ es positivo. Debería tener

$$ [ (-1) \cdot (-1) \cdot ( 2 - 6 - 2 ) ] \ + \ [ (+1) \cdot 2 \cdot ( 2 + 3 - 9 - 4 ) ] $$

$$ = \ (-6) \ + \ (-16) \ = \ -22 \ . $$

Answer 3

Tu error fue que olvidaste el $(-1)^{i+j}$ para los cofactores.