problema relativo al radio de curvatura.

Question

Me piden que demuestre el radio de curvatura de la curva $$y^2(a-x)=x^2(a+x)$$ en el origen es $4\sqrt{2}a$ .

Lo intenté así, pero $\textbf{I can't get 2 in the answer}$ . Lo compruebo muchas veces y me rompo la cabeza ya que no encuentro donde ha fallado. Ni siquiera sabré si hay un $\textbf{typo in my book}$ . Por favor, ayúdenme a encontrar dónde fue mal y la respuesta correcta para esta pregunta.

Answer 1

El lado derecho de tu ecuación (2) después de la diferenciación implícita debería tener $+y^2$ en lugar de $-y^2.$ También, $y'$ (incluso en su fórmula actual) se define en $x=0.$ Después de toda la simplificación, deberías obtener $a\sqrt{2}$ como radio de curvatura.

Answer 2

Para la curva $c(x,y)=0$ la curvatura viene dada por $$ k = \frac{|2c_xc_yc_{xy} - c_x^2 c_{yy} - c_y^2 c_{xx}|}{(c_x^2 + c_y^2)^{3/2}} $$ En su ejemplo $$ c(x,y) = y^2(a-x) - x^2(a+x) $$ Entonces \begin{align} c_x &= -y^2 - 2ax - 3x^2 \\ c_y &= 2(a-x)y \\ c_{xx} &= -2a -6x \\ c_{xy} &= -2y \\ c_{yy} &= 2(a-x) \end{align} En $(x,y)=(0,0)$ obtenemos \begin{align} c_x &= 0 \\ c_y &= 0 \\ c_{xx} &= -2a \\ c_{xy} &= 0 \\ c_{yy} &= 2a \end{align} Así, obtenemos $0/0$ . Esto sugiere que está ocurriendo algo extraño. Para entenderlo mejor, vamos a representar gráficamente la curva. Obtenemos lo siguiente para $a=1$ :

Hay dos ramas de la curva que pasan por el origen. ¿Cuál debemos utilizar para calcular la curvatura? En este ejemplo, ambas ramas tienen la misma curvatura en el origen, pero no siempre es así. Así que ten cuidado cuando alguien te pida que calcules "la curvatura" en un punto de una curva dada por una ecuación implícita.

Utilicemos la rama que se inclina hacia arriba de izquierda a derecha. Tiene la ecuación $$ y = x \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} $$ En $x=0$ obtenemos $$ y' = 1 $$ $$ y'' = \frac{2}{a} $$ y así $$ \rho = a\sqrt2 $$ Si tu libro tiene otra respuesta, entonces tu libro está equivocado.