Relaciones de grupo: Demostrar que $\forall u,v\in G$ , $uv\sim vu$

Question

Sea $G$ sea un grupo.

1. Demostrar que la relación $a\sim b$ si $b=gag^{-1}$ para algunos $g\in G$ es una relación de equivalencia en $G$ .
2. Demostrar que $\forall u,v\in G$ , $uv\sim vu$ .

Así que he demostrado (1). Mi confusión radica en que parecen ser la misma pregunta. Estoy seguro de que debo estar equivocado, pero mi planteamiento era volver a demostrar que $\sim$ es una relación de equivalencia. Mi prueba es la siguiente:

Prueba.

1. Supongamos que $u,v\in G$ . Entonces $e(uv)e^{-1}=uv$ . Por lo tanto $uv\sim uv$ y $\sim$ es reflexivo.
2. Supongamos que $uv\sim vu$ y que $u,v\in G$ . Entonces $vu=g(uv)g^{-1}$ y \begin{align} g^{-1}(vu)g&=g^{-1}(g(uv)g^{-1})g\\\ &=(g^{-1}g)uv(g^{-1}g)\\\ &=uv \end{align} Por lo tanto, $uv\sim vu$ y $\sim$ es simétrica.
3. Supongamos que $uv\sim vu$ y $vu\sim xy$ . Entonces, existe $g,h\in G$ tal que $vu=g(uv)g^{-1}$ y $xy=h(vu)h^{-1}$ . Entonces, \begin{align} xy&=h(vu)h^{-1}\\\ &=h(g(uv)g^{-1}\\\ &=(hg)uv(hg)^{-1}\\\ &=uv \end{align} Por lo tanto $uv\sim xy$ y $\sim$ es transitiva.

Así, así $uv\sim vu$ para todos $u,v\in G$ .

Y esta prueba es casi la misma que la que hice para (1), así que naturalmente estoy dudando de mi respuesta para (2). Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Para la segunda parte necesitamos mostrar $uv\sim vu$ para cualquier $u,v\in G$ . Así que tenemos que encontrar $ g \in G$ tal que $ vu = g (uv)g^{-1}$ ... $g=u^{-1}$ lo hará.

Answer 2

Sólo necesita un $g\in G$ tal que $guvg^{-1}=vu$ . Pero $g=v$ funciona: $vuvv^{-1}=vu$ .